基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）（时间：25分，满分50分）班级姓名得分1．（5分）函数f(x)＝，则f′(3)等于()A.B．0C.D.【答案】A【解析】∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.2．（5分）给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C3．（5分）已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4B．－4C．5D．－5【答案】A【解析】f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．（5分）若曲线y＝12x在点(a，12a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64B．32C．16D．8【答案】A【解析】∵y＝12x，∴y′＝－32x，∴曲线在点(a，12a)处的切线斜率k＝－32a，∴切线方程为y－12a＝－32a(x－a)．令x＝0得y＝12a；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·12a＝12a＝18，∴a＝64.5.（5分）已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.B．－C．－eD．e【答案】D16．（5分）曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．【答案】x＋y－6＝0【解析】∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.7．（5分）曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．【答案】e2【解析】∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝×1×|－e2|＝e2.8．（5分）曲线y＝在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝____.【答案】9．（5分）求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin(1－2cos2)；(4)y＝log2x2－log2x.【解析】(1)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(2)y′＝()′＝(x－4)＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)∵y＝－2sin(1－2cos2)＝2sin(2cos2－1)＝2sincos＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.10．（5分）已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．【解析】根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.2
