高中数学电子题库第二章4知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2012·驻马店质检)若OA＝(1，2，3)，OB＝(－1，3，4)，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是()A．(1，7，5)B．(1，－7，5)C．(－1，－7，5)D．(1，－7，－5)解析：选C.因为(－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(－1，3，4)＝1－21＋20＝0，所以向量(－1，－7，5)能成为平面OAB的法向量．2.若直线l的方向向量为a＝(－1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l与α斜交解析：选B. a＝(－1，0，2)，n＝(－2，0，4)，n＝2a，∴n∥a，∴l⊥α.3.设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面α的法向量是n，有下面命题：①⇒b∥α；②⇒a∥b；③⇒b∥α；④⇒b⊥α.其中，正确命题的序号是________．解析：对于①，有b⊥α，不正确，④正确，易判断②③正确．答案：②③④4.(2012·吉安检测)已知空间向量a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，若a∥b，则λ＋μ＝________．解析： a∥b，∴a＝mb(m∈R)，∴，解得.∴λ＋μ＝.答案：[A级基础达标]1.若直线l的方向向量为a＝(1，1，1)，向量b＝(1，－1，0)和向量c＝(0，1，－1)所在的直线都与平面α平行，则()A．l⊥αB．l∥αC．lαD．以上都不对解析：选A. a·b＝(1，1，1)·(1，－1，0)＝0，a·c＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，∴a⊥b，a⊥c，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，∴l⊥α.2.(2012·西安检测)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于()1A．(，－，4)B．(，－，4)C．(，－2，4)D．(4，，－15)解析：选B.AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4，BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.3.平面α的一个法向量是n＝(，－1，)，平面β的一个法向量是m＝(－3，6，－2)，则平面α与平面β的关系是()A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直解析：选C. m＝－6n，∴m∥n，∴平面α，β平行或重合．4.已知平面α，β的法向量分别为(1，3，6)，(－2，x，y)，若α∥β，则x＋y＝________.解析：因为α∥β，所以它们的法向量共线，则有＝＝，解得x＝－6，y＝－12，所以x＋y＝－18.答案：－185.(2012·淮北检测)已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒⇒，令z＝2，则n＝(1，－2，2)，|n|＝＝3，n＝±(，－，)．答案：±(，－，)6.如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，O1是B1D1的中点．证明：BO1∥面ACD1.证明：设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)、D1(0，0，2)、C(0，2，0)、O1(1，1，2)、B(2，2，0)，所以AD1＝(－2，0，2)，CD1＝(0，－2，2)，BO1＝(－1，－1，2)．法一：设BO1＝λAD1＋μCD1，则λ(－2，0，2)＋μ(0，－2，2)＝(－1，－1，2)，∴∴BO1＝AD1＋CD1⇒BO1与AD1、CD1共面，∴BO1∥面ACD1.又BO1面ACD1，∴BO1∥面ACD1.法二：设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，由⇔.令x＝1可得：y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)． BO1·n＝(－1，－1，2)·(1，1，1)＝－1－1＋2＝0⇔BO1⊥n，∴BO1∥面ACD1.又BO1面ACD1，∴BO1∥面ACD1.[B级能力提升]7.(2012·南阳检测)已知P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是平行四边形，AB＝(2，－1，－24)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)，则PA与平面ABCD的位置关系为()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不确定解析：选C.因为AP·AB＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－2－2＋4＝0，AP·AD＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝－4＋4＋0＝0，所以AP⊥AB，AP⊥AD，即AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，故PA⊥平面ABCD.8.已知平面α内有一点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B．(1，3，)C．(1，－3，)D．(－1，3，－)解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直，即判断PA·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，PA＝(1，0，1)，则PA·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5...
