第六讲导数的应用(二)限时规范训练A组——高考热点强化练一、选择题1．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)>xD．f(x)2f(－1)D．f(0)＋f(－2)≥2f(－1)解析：由题意得，当x≥－1时，f′(x)≥0，当x≤－1时，f′(x)≤0，∴f(x)的最小值为f(－1)，即对任意实数x，都有f(x)≥f(－1)，∴f(0)≥f(－1)，f(－2)≥f(－1)，∴f(0)＋f(－2)≥2f(－1)，故选D.答案：D3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设h(x)＝f(x)g(x)，又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0知x<0时，h(x)为增函数，又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，∴h(x)为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且h(3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D.答案：D4．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为()A．{x|x<－1}B．{x|x>1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|－11.答案：B5．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋>0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：当x≠0时，f′(x)＋＝＝>0，当x>0时，[xf(x)]′>0，则h(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，又>0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即F(x)在(0，＋∞)上无零点．当x<0时，[xf(x)]′<0，∴h(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立，所以F(x)＝xf(x)＋在(－∞,0)上为减函数，当x→0时，xf(x)→0，→－∞，则F(x)<0，x→－∞时→0，F(x)≈xf(x)＞0，∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.答案：B6．若∀x，y∈[0，＋∞)，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是()A.B．1C．2D.解析：ex＋y－2＋ex－y－2＋2＝ex－2(ey＋e－y)＋2≥2(ex－2＋1)，当且仅当y＝0时等号成立．由2(ex－2＋1)≥4ax，得2a≤.令g(x)＝，则g′(x)＝，可得g′(2)＝0，且在(2，＋∞)上，g′(x)>0，在[0,2]上，g′(x)<0，故g(x)的最小值为g(2)＝1，所以2a≤1，即a≤.故选D.答案：D7．设a>b>1，则下列不等式成立的是()A．alnb>blnaB．alnbbeaD．aeb0)，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，则x＝e，当x∈(0，e)时，1－lnx>0，f′(x)>0；当x∈[e，＋∞)时，1－lnx≤0，f′(x)≤0，∴函数f(x)的增区间为(0，e)，减区间为[e，＋∞)，又e∈(1，＋∞)，∴当e>a>b时，f(b)b>e时，<，即alnb>blna，故A，B不正确．令g(x)＝，同理可知函数g(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，0)，(0,1)，∴当a>b>1时，g(a)>g(b)，即>，即aeb
