高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法破题致胜复习检测 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法复习指导考点一：空间向量的线性运算1.加法：abOBuuur＋减法：abCAuur数乘：aa当0＞时，a与a方向相同；当0＜时，a与a方向相反；当0时，a为零向量．线性运算律①加法交换律：abba②加法结合律：abcabc③分配律：aaa，abab2.（1）向量定理两个空间向量0()abbab，，∥的充要条件是存在唯一的实数x，使axb＝.（2）向量共面的条件（3）空间向量的分解定理1（4）两个向量的夹角（5）异面直线（6）两个向量的数量积3.空间向量的坐标表示2(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量ijk，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}ijk，，，这个基底叫做单位正交基底．单位向量ijk，，都叫做坐标向量．(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组123()aaa，，，使123123aaiajakaiajak＝＋＋，，，分别为向量a在ijk，，方向上的分向量，有序实数组123()aaa，，叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作123()aaaa＝，，4空间向量平行和垂直的条件设123123()()aaaabbbb＝，，，＝，，，则11223310babbaabababP＝＝，＝，＝，当123bbb，，3都不为0，abP312123aaabbb；(2)ab·ab＝01122330ababab＋＋＝4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设123123()()aaaabbbb＝，，，＝，，，则222123aaaaaa，222123bbbbbb，222222121122313332cosababaaabababababbb〈，〉＝＝3设111222()()AxyzBxyz，，，，，，则222212121ABxxyyzzuuur解题指导：空间向量解决立体几何问题的步骤：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义例题1.在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长;(2)证明:EF∥平面AA1D1D;(3)证明:EF⊥平面A1CD.【答案】（1）2EF（2）见解析（3）见解析4例题2.已知12eeurur是空间单位向量,1212eeurur,若空间向量br满足12berur,252berur，对于任意,xyR120102001,bxeyebxeyexyRrururrurur≥则0x=_______0y=_______,br=________【答案】1,2,22巩固练习1．若直线l的一个方向向量2,2,2a，平面α的一个法向量为1,1,1b，则（）A.lαB.l//αC.lαD.A、C都有可能2．过正方形ABCD的顶点A，作PA平面ABCD，若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是（）．A.30B.45C.60D.903．设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点，P是平面11BCCB内一点，若面1DPM分别与面ABCD和面11BCCB所成的锐二面角相等，则1PC长度的最小值是（）5A.255B.22C.63D.14．如图所示，已知六棱锥的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是（）A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°5．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且1,2PDADAB，点E是AB上一点，当二面角PECD为4时，AE（）A.23B.12C.22D.16．在平行四边形中，,,若将其沿折成直二面角,则与所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.7．已知1,0,0,0,1,0,0,0,1ABC三点，1,1,1n，则以n为方向向量的直线与平面ABC系是（）A.垂直B.不垂直C.平行D.以上都有可能68．已知球O的半径为1，,AB是球面上的两点，且3AB，若点P是球面上任意一点，则PAPB�的取值范围是（）A.31,22B.13,22C.10,2D.30,29．如图，在三棱柱111ABCABC中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，4AB，16AA，若E、F分别是棱1BB，1CC上的点，且1BEBE，1...