课时提升作业(十三)习题课——函数奇偶性的应用(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.若点(-1,3)在奇函数y=f(x)的图象上,则f(1)等于()A.0B.-1C.3D.-3【解析】选D.由题意知,f(-1)=3,因为f(x)为奇函数,所以-f(1)=3,f(1)=-3.2.已知函数f(x)=x2,则下列描述中,正确的是()A.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增B.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增C.它是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减D.它是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减【解析】选B.结合函数f(x)=x2的图象可知,该函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.【补偿训练】若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是()A.单调递增的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递减的偶函数D.单调递增的奇函数【解析】选B.因为f(x)=x3是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函数,因为f(x)=x3单调递增,所以y=-x3单调递减.3.(2015·唐山高一检测)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么f(x)在区间[-5,-2]上有()A.最小值6B.最小值-6C.最大值-6D.最大值6【解析】选C.因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6,所以可设a∈[2,5],有f(a)=6.由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.【补偿训练】如果偶函数在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上()A.有最大值B.有最小值C.没有最大值D.没有最小值【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[a,b]上具有最大值,那么该函数在[-b,-a]上也有最大值.二、填空题(每小题4分,共8分)4.设函数f(x)=ax3+bx+c的图象如图所示,则f(a)+f(-a)=.【解析】由图象知f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.答案:05.(2015·威海高一检测)如果定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,又有f(3)=0,则x·f(x)<0的解集为.【解析】由题意可画出函数f(x)的草图.当x>0时,f(x)<0,所以x>3;当x<0时,f(x)>0,所以x<-3.综上x>3或x<-3.答案:{x|x<-3或x>3}三、解答题6.(10分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.【解析】因为x<0,所以-x>0,所以f(-x)=(-x)|(-x)-2|.又因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|=x|x+2|.故当x<0时,f(x)=x|x+2|.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)·g(x)|是奇函数【解析】选C.设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,故A错,同理可知B,D错,C正确.2.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,则下列关系式中,正确的是()A.f(5)>f(-5)B.f(4)>f(3)C.f(-2)>f(2)D.f(-8)=f(8)【解析】选C.f(x)在[0,+∞)上是减函数,且是奇函数,所以当x>0时,f(x)f(0)=0.【补偿训练】若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】选B.由题意知f(-2)=f(2)=0,当x∈(-2,0]时,f(x)b=f(-3),所以a>b.答案:a>b4.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为.【解析】由题意,x=2x-3或-x=2x-3,所以x=3或x=1,所以方程f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为4.答案:4三、解答题5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知分段函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时的解析式为f(x)=.(1)求f(-1)的值.(2)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式.(3)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.【解析】(1)f(-1)=-f(1)=-=-.(2)任取x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),所以f(-x)=,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=,所以f(x)=,x∈(-∞,0).(3)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,证明如下:任取x1,x2为区间(0,+∞)上的两个不相等的实数,且x10,x2>0,所以(x2+1)>0,(x1+1)>0,又x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
