专题三数列第1讲等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于()．A．9B．10C．11D．12解析设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案C2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()．A.B．－C.D．－解析设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.答案C3．(2015·杭州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是()．A.B．－C．±D．±3解析依题意得，a4＋a8＝4，a4a8＝3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6＝＝.答案A4．在正项等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于()．A．3或－1B．9或1C．1D．9解析依题意，有3a1＋2a2＝a3，即3a1＋2a1q＝a1q2，解得q＝3，q＝－1(舍去)，＝＝＝9.答案D5．在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2014的值等于()．A．－2011B．－2012C．－2014D．－2013解析根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2014，公差d＝1，故＝－2014＋(2014－1)×1＝－1，所以S2014＝－2014.答案C6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()．A．3B．4C．5D．6解析由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，1故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案C7．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()．A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案D二、填空题8．(2015·陕西卷)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．解析由题意设首项为a1，则a1＋2015＝2×1010＝2020，∴a1＝5.答案59．(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.解析因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.答案1010．(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析先求出数列的周期，再进一步求解首项， an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.答案11．(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.答案2n－112．(2015·湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.2答案3n－1三、解答题13．(2014·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d>0，所以d＝2，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1>k＋1>1，故所以14．(2014·...
