高二数学 第二章 第2节 椭圆（理） 人教实验B版选修2－1VIP专享VIP免费

高二数学第二章第2节椭圆（理）人教实验B版选修2－1【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：椭圆二、教学目标：1、掌握椭圆的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求椭圆的方程，掌握椭圆的几何性质。2、了解椭圆的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用，掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一些问题。三、知识要点分析：（一）椭圆的定义平面内与两个定点为F1，F2的距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。特别地，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹。（二）椭圆的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay参数方程(sincosbyax为参数）(sincosaybx为参数）图形顶点),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),,0(21cFcF焦距)0(2||21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）准线cax2cay2用心爱心专心1焦准距cbccap22说明：方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c都大于零，其中a最大且a2=b2+c22、椭圆焦点三角形：设P为椭圆12222byax上任意一点，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝，则△PF1F2为焦点三角形，S＝b2tan2。3、方程22AxByC表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。4、弦长公式：x1，x2分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b，代入椭圆方程整理得Ax2+Bx+C=0，则PQ＝2121xxk，若y1，y2分别为弦PQ的纵坐标，则PQ＝21211yyk，5、直线与椭圆的位置关系：设直线l的方程为：Ax+By+C=0，椭圆12222byax（a﹥b﹥0），组成方程组，消去y（或x）利用判别式△的符号来确定。若△>0直线与椭圆有两个交点，若△=0直线与椭圆有一个交点，若△<0直线与椭圆没有交点。6、点P和椭圆12222byax（a﹥b﹥0）的关系：（1）点P（x0，y0）在椭圆外220220byax>1，（2）点P（x0，y0）在椭圆上220220byax＝1，（3）点P（x0，y0）在椭圆内220220byax<1【典型例题】例1.求下列椭圆的标准方程（1）椭圆的一个顶点为2,0A，其长轴长是短轴长的2倍。分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：①当2,0A为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：1y4x22；②当2,0A为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：221416xy；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.（2）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线交于、两点，为用心爱心专心2AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2。解：由题意，设椭圆方程为2221xya由，得，∴212221Mxxaxa，，，∴，∴为所求椭圆的标准方程.说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率等问题.例2.已知点P（3，4）是椭圆12222byax（a﹥b﹥0）上的一点，两个焦点为F1，F2，若PF1⊥PF2，试求：（1）椭圆的方程（2）△PF1F2的面积解析：（1）解法一：令0,1cF，0,2cF，则222cab。21PFPF，121PFPFkk，即13434cc，解得5c，椭圆方程为1252222ayax，点4,3P在椭圆上，12516922aa，解得452a或52a又ca，52a（舍去），故所求椭圆方程为1204522yx。解法二：21PFPF，21FPF为直角三角形，cFFOP2121又54322OP，5c，椭圆方程为1252222ayax（以下同解法一）（2）解法一：P点纵坐...