第6课二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1.已知二次函数,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为；顶点坐标为，与轴的交点坐标为，最小值为．2.二次函数的图像的对称轴为,则__－2___，顶点坐标为_，递增区间为，递减区间为．3.函数的零点为．4.实系数方程两实根异号的充要条件为；有两正根的充要条件为；有两负根的充要条件为．5.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．【范例解析】例1.设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性；（2）若时，求的最小值．分析：去绝对值．解：（1）当时，函数此时，为偶函数．当时，，，，．此时既不是奇函数，也不是偶函数．（2）1由于在上的最小值为，在内的最小值为．故函数在内的最小值为．点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．例2.函数在区间的最大值记为，求的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，．综上所述，有=．点评：解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及在区间上的单调性．例3.已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围．分析：确定好分类标准是关键．解：若，，显然在上没有零点，所以．令，解得2①当时，恰有一个零点在上；②当，即时，在上也恰有一个零点．③当在上有两个零点时，则或解得或．综上所求实数的取值范围是或．点评：本题是以函数在区间上零点的个数为分类标准，进行求解．另本题也可以用参数分类求解．【反馈演练】1．函数是单调函数的充要条件是．2．已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为．3.已知函数若则与大小关系是．注：1+x1+1+x2>0(1)1+x2>1+x1>0(2)1+x2>-1-x1>04.设，二次函数的图象为下列四图之一：3则a的值为（B）A．1B．－1C．D．5．若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是．6．若不等式对于一切成立，则a的取值范围是．7．（1）若关于的方程的两个实根满足，则实数t的取值范围是．（2）若关于的方程的两根都小于1，则实数a的取值范围是．8.设，是二次函数，若的值域是，则的值域是．9.若关于x的方程在有解，则实数m的取值范围是．10.已知函数在有最小值，记作．（1）求的表达式；（2）求的最大值．解：（1）由知对称轴方程为，当时，即时，；当，即时，；当，即时，；4综上，．（2）当时，；当时，；当时，．故当时，的最大值为3．11.分别根据下列条件,求实数a的值：（1）函数在在上有最大值2；（2）函数在在上有最大值4．解：（1）当时，，令，则；当时，，令，（舍）；当时，，即．综上，可得或．（2）当时，，即，则；当时，，即，则．综上，或．12.已知函数．（1）对任意，比较与的大小；（2）若时，有，求实数a的取值范围．解：（1）对任意，，故．（2）又，得，即，5得，解得．6
