【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学4.2.3直线与圆的方程的应用双基限时练新人教A版必修21．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)，与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在解析直线与圆相切，则圆心到切线的距离d＝＝1，∴a2＋b2＝c2，故三角形为直角三角形．答案B2．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为()A．2B．2－2C．2－4D．2解析两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，∴两圆相离，∴A、B两点之间的最短距离为2－4.答案C3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2－(x2＋y2－1)2＝0表示的图形是()A．都是两个点B．一条直线和一个圆C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆D．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆解析x(x2＋y2－1)＝0⇒x＝0，或x2＋y2－1＝0，则它表示一条直线x＝0和一个圆x2＋y2＝1；x2－(x2＋y2－1)2＝0⇒(x＋x2＋y2－1)(x－x2－y2＋1)＝0，∴x＋x2＋y2－1＝0，或x－x2－y2＋1＝0.即(x＋)2＋y2＝，或(x－)2＋y2＝，它表示两个圆．因此选C.答案C4．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()A．y＝xB．y＝－xC．y＝xD．y＝－x解析设切线方程为y＝kx，圆的方程化为(x＋2)2＋y2＝1，而圆心(－2,0)到直线y＝kx的距离为1，∴＝1.∴k＝±.又∵切点在第三象限，∴k＝.答案C5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为()A．－或B.C．－或D.解析∵∠POQ＝120°，∴点O到直线y＝kx＋1的距离d＝，又d＝＝，∴k＝±答案A6．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是____________．1解析半径r＝＝则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案(x－1)2＋(y－1)2＝27．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是________．解析由题意知CA⊥PA，∴|CP|2＝|CA|2＋|PA|2.∵C(－1,0)，|CA|＝2，|PA|＝1，设P的坐标为(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝5.答案(x＋1)2＋y2＝58．与圆x2＋y2＝4切于点P(－1，)的切线方程为________．解析圆心(0,0)，kOP＝－，∴切线的斜率k＝，又切点为(－1，)，∴切线方程为y－＝(x＋1)，即x－y＋4＝0.答案x－y＋4＝09．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.解析由题意可知，直线x－y＋2＝0过圆心，所以－1－＋2＝0，a＝－2.答案－210．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.(1)求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程；(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求使|PM|最小时点P的坐标．解(1)设横、纵截距相等的切线方程为kx－y＝0与x＋y＋c＝0，则＝与＝，解得k＝±1，c＝－4，或c＝0.故切线方程为x＋y＝0，x－y＝0，x＋y－4＝0.(2)设P(x，y)，由|PM|＝|PO|，得＝，化简得点P的轨迹为直线x＝，要使|PM|最小，即要使|PO|最小，过O作直线x＝的垂线．∴垂足P(，0)是所要求的点．11．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求的最值；(2)求y－x的最值；(3)求x2＋y2的最值．解(1)∵圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3，其圆心为(2,0)，半径为.设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值．此时，＝，解得k＝±.∴的最大值为，最小值为－.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，＝，即b＝－2±.∴y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，2∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2外一点P(2，－1)，过点P作圆C的切线PA，PB，其中A，B是切点．(1)求PA，PB所在的直线方程；(2)求|PA|，|PB|的值；(3)求直线AB的方程．解(1)由圆心C(1,2)，点P(2，－1)及半径r＝知，切线斜率一定存在．设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.∵圆心到切线的距离等于半径．∴＝，即k2－6k－7＝0.解得k＝－1或k＝7.故切线方程为x＋y－1＝0或7x－y－15＝0.即PA，PB所在的直线方程分别为x＋y－1＝0,7x－y－15＝0.(2)∵|PC|＝＝，∴|PA|＝|PB|＝＝2.(3)由解得∴A(0,1)．由解得∴B.故直线AB的方程为＝，即x－3y＋3＝0.3
