2.3.1数学归纳法一、选择题1.设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.C.＋D.－解析f(n)＝＋＋＋…＋f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－，选D.答案D2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，an＋1＝a2，∴左边应为1＋a＋a2，故选C.答案C3.用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…·(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式是()A.2k＋1B.C.2(2k＋1)D.解析n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2n－1).n＝k＋1时，(k＋2)…(k＋k)·(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1).∴增乘的代数式是＝2(2k＋1)，选C.答案C二、填空题4.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________.解析a1＝1，a2＝a1＋3＝4，a3＝4＋5＝9，a4＝9＋7＝16，猜想an＝n2.答案an＝n25.记凸k边形对角线的条数为f(k)(k≥4)，那么由k到k＋1时，对角线条数增加了________条.解析∵f(k)＝k(k－3)，f(k＋1)＝(k＋1)(k－2)，f(k＋1)－f(k)＝k－1.答案k－16.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是________.解析＋a2＝2(2×2－1)a2，a2＝，＋＋a3＝3(2×3－1)a3，a3＝，＋＋＋a4＝4(2×4－1)a4，a4＝，猜想an＝.答案an＝三、解答题7.求证：(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋).证明(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立.1(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立.即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)成立.那么当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2(k＋1)－1].即n＝k＋1时等式成立.由(1)、(2)可知对任意n∈N＋，等式都成立.8.求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋).证明(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立.(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋>＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.9.在数列{bn}中，b1＝2，bn＋1＝(n∈N＋).求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明.解由b1＝2，bn＋1＝，得b2＝＝，b3＝.经比较有b1＞，b2＞，b3＞.猜想bn＞(n∈N＋).下面利用数学归纳法证明.(1)当n＝1时，因b1＝2，所以＜b1.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，即＜bk.∴bk－＞0.当n＝k＋1时，bk＋1－＝－＝＝＞0.∴bk＋1＞，也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立.根据(1)、(2)，知bn＞(n∈N＋).10.用数学归纳法证明：当n∈N＋时，(1＋2＋3＋…＋n)≥n2.证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，左边≥右边，不等式成立.(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即(1＋2＋3＋…＋k)≥k2，则当n＝k＋1时，左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·＝(1＋2＋3＋…＋k)＋(1＋2＋3＋…＋k)＋(k＋1)＋1≥k2＋·＋(k＋1)＋1＝k2＋＋1＋(k＋1)，∵当k≥2时，1＋＋＋…＋≥1＋＝，∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)(2)知，当n∈N＋时，不等式成立.2
