第一课时等比数列的前n项和1.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是(B)(A)179(B)211(C)248(D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是(A)(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{an}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于(C)(A)2(B)(C)4(D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,1所以q==4,故选C.5.等比数列{an}的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为(B)(A)0(B)1(C)3(D)不存在解析:法一当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{an}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(C)(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{an},易知{an}是公比q=的等比数列,S6=378,S6=2=378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=.解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{bn}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{bn}的前5项和即为{an}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{an}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10=.解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又an>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或63312.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,求Sn的值.解:因为Sn=2an+1,所以n≥2时,Sn-1=2an.因为an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,所以3an=2an+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{an}从第二项起是以为公比的等比数列.所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+=()n-1.13.知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得d===3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).4数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)求证是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3(an+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以an+=,因此{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+++…+等于(B)(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1(D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,所以当n≥2时,an=3n-3n-1=2·3n-1,5又n=...
