§2等差数列2.1等差数列第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{an}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.{an2}B.{1an}C.{3an}D.{|an|}解析:设{an}的公差为d,则3an+1-3an=3(an+1-an)=3d是常数,故{3an}一定成等差数列.{an2},{1an},{|an|}都不一定是等差数列,例如当{an}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{an}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若an=2018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2018,解得n=673.答案:D4.等差数列{an}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A.34B.-34C.-67D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=a5-a18=2-88=-68=-34.故选B.答案:B5.已知点(n,an)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{an}中有()A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a7·a9=0解析:∵(n,an)在直线3x-y-24=0,∴an=3n-24.∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,1∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{an}中,若a1=7,a7=1,则a5=.答案:37.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为a1,公差为d,由已知得{a1+4d=10,a1+11d>31,①②②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(√an,√an-1)在直线x-y-√3=0上,则数列{an}的通项公式为an=.解析:由题意知√an−√an-1=√3(n≥2),∴{√an}是以√a1为首项,以√3为公差的等差数列,∴√an=√a1+(n-1)d=√3+√3(n-1)=√3n.∴an=3n2.答案:3n29.已知数列{an},{bn}满足{1an+bn}是等差数列,且bn=n2,a2=5,a8=8,则a9=.解析:由题意得1a2+b2=19,1a8+b8=172,因为{1an+bn}是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-772×6,所以1a9+b9=172−772×6=-1432,所以a9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第项.解析:设an=3n-1,公差为d1,新数列为{bn},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=an-an-1=3,d2=d14=34,则bn=2+34(n-1)=34n+54,b29=23,令an=23,即3n-1=23.故n=8.答案:8211.若一个数列{an}满足an+an-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{an}为等和数列,h为公和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则a2016=.解析:易知an={1,n为奇数,-4,n为偶数,∴a2016=-4.答案:-412.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.解由已知,得{2b=a+c,a+b+c=33,2lg(b-5)=lg(a-1)+lg(c-6),∴{b=11,a+c=22,(b-5)2=(a-1)(c-6),解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.13.导学号33194005已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求{bn}的通项公式;(3){bn}中的第110项是{an}的第几项?解(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{an}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,∴{bn}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N+).(3)b110=13-20×110=-2187,设它是{an}中的第m项,则8-5m=-2187,则m=439.14.导学号33194006已知数列{an}满足a1=15,且当n>1,n∈N+时,有an-1an=2an-1+11-2an,设bn=1an,n∈N+.(1)求证:数列{bn}为等差数列.(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.3(1)证明当n>1,n∈N+时,an-1an=2an-1+11-2an⇔1-2anan=2an-1+1an-1⇔1an-2=2+1an-1⇔1an−1an-1=4⇔bn-bn-1=4,且b1=1a1=5.∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴an=1bn=14n+1,n∈N+.∴a1=15,a2=19,∴a1a2=145.令an=14n+1=145,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.4
