向量的应用知识精讲一.本周教学内容：2.4向量的应用平面向量全章总结［教学目的］1.能用向量解决某些简单的平面几何问题，掌握向量在解析几何中的简单应用，能利用向量方法解决力向量、速度向量等物理问题。2.对全章知识有一个较系统的掌握，并通过实例对几个热点问题进行专题分析。［教学重点、难点］利用向量解决平面几何问题、解析几何问题和物理问题；对热点问题的专题分析。［知识分析］（一）向量的应用1.向量在平面几何中的应用（1）平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。②通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系。2.向量在解析几何中的应用（1）设直线l的倾斜角为α，斜率为k,向量平行于l,则称为l的方向向量，可以根据向量的知识得到向量（1，k）与向量共线，因此（1,k）也是l的方向向量。（2）已知直线l:Ax＋By+C＝0,则向量(A,B)一定和l垂直，向量(A,B)称为l的法向量。（3）已知直线l1：,l2：，则与l1垂直，与l2垂直。于是l1和l2的夹角便是与的夹角（或其补角）。设l1与l2夹角是θ，则有3.向量在物理中的应用（1）向量在力的分解与合成中的应用。由于力是向量，它的分解与合成与向量的减法与加法相类似，可以用向量来解决。（2）向量在速度的分解与合成中的应用。4.应用实例例1.如图，已知点A（4，0）、B（4，4）、C（2，6），求AC和OB的交点P的坐标。分析：可以根据A、P、C三点共线，O、P、B三点共线，从而由向量共线和方程的思想解决。解析：设P点坐标为P（x,y），则 ①又 且共线即3x＋y＝12由①②解得故P点的坐标是（3，3）点评：充分利用向量共线的充要条件，将求交点坐标问题转化为向量共线的坐标方程问题，使问题得到解决。例2.已知AD、BE、CF是△ABC的三条高，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H，如图，求证：HG//EF分析：要证HG//EF，可设法证明（其中λ≠0）证明： ，∴设，则，同理于是∴，即HG∥FE点评：用向量知识解决平面几何中证明线段相等的问题，一般是转化为相应向量相等或平行来解决，小结如下：（1）如果A、B、C共线，欲证AB＝BC，则只需证即可。（2）要证线段AB、CD平行且相等，只要证明即可。（3）如果线段AB、CD不平行，而要证它们相等，则需证或证例3.已知点A（－1，2），直线l：4x－3y＋9=0。求：（l）过点A且与直线l平行的直线方程；（2）过点A且与直线l垂直的直线方程．分析：应用直线的方向向量和法向量来解决问题。解析1：直线l的斜率，向量与直线l平行（1）设P是过A且与l平行的直线上的动点，P的坐标是（x，y），则（x＋1，y－2）所求直线与l平行，当且仅当转化为坐标表示，即为整理得这就是所求的过A且与l平行的直线方程。（2）设Q（x，y）为一动点，则，点Q在过A且垂直于l的直线上，当且仅当，转化为坐标表示，即为整理得这就是所求的过A且与l垂直的直线方程。解析2：因为向量（4，－3）与直线l垂直，所以是l的法向量。（1）设P（x，y）为一动点，则，点P在与l平行的直线上，当且仅（2）当转化为坐标表示，即为整理得这就是所求的过A且与l平行的直线方程。（2）设Q（x，y）为一动点，则＝（x＋1，y－2），点Q在与l垂直的直线上，当且仅当与共线，即，转化为坐标表示，即为整理得这就是过A且与l垂直的直线方程。点评：解法1是引入了和l平行的向量，这个向量我们可以称为l的方向向量。可以看出向量（－B，A）就是Ax＋By+C＝0的方向向量。解法2是引入了和l垂直的向量，这个向量我们可以称为l的法向量。可以看出向量（A，B）就是Ax＋By+C＝0的法向量。在今后的解释中可以用结论：与直线平行则和直线的方向向量平行，和直线的法向量垂直；与直线垂直则和直线的方向向量垂直，和直线的法向量平行。例4.如图，若物体重量为G，被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A和B保持同一高度，且绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，试研究拉力、的大小。分析：物体处于静止状态，受力平衡，即和的合力和...
