第4课直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜42.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为x=2或3x-4y-2=0.4..设集合,,若M∪N=M，则实数a的取值范围是-2≤a≤25.M（2,-3,8）关于坐标平面xOy对称点的坐标为（2，-3，-8）【范例导析】例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.由得即l恒过定点A（3，1）. 圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O:，圆C:，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.(1)求实数a、b间满足的等量关系；(2)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.分析:问题（1）可直接根据题目条件求得,在解决问题（2）时,要注意问题（1）结论的运用.(1)连结PO、PC， |PA|=|PB|，|OA|=|CB|=11例2∴|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为:.(2) 圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有且于是有:即从而得两边平方，整理得将代入上式得：故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.点拨:注意圆与圆的位置关系的判断.例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.（1）求圆C的方程.（2）若直线与圆C相切，求证：分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法.解：（1）设圆C半径为，由已知得：∴，或∴圆C方程为.（2）直线， ∴∴左边展开，整理得，∴ ，∴，2∴∴ ∴，∴点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决.例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．解：（1）直线设.的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为.即.已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上，,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，故所求圆C的方程为.（2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q3xyOABl2l1l例4可发现，当共线时，最小，故的最小值为.此时由,得.反馈练习：1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为2.直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为解析：如图7—7所示，由消y得：x2－3x+2=0∴x1=2，x2=1∴A（2，0），B（1，）∴|AB|==2又|OB|＝|OA|=2∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°.则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.3.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是4.设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为. d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为36.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为7.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为48.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一...
