高中数学 5.5 运用不等式求最大（小）值 5.5.1 利用平均不等式求最大（小）值同步测控 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.5.1运用算术－几何平均不等式求最大（小）值同步测控我夯基,我达标1.设x、y∈R+,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是()A.40B.10C.4D.2解析:lgx+lgy=lg(xy)=lg44yx≤lg4)24(2yx=lg4400=2.答案:D2.设x、y∈R+,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(2+1)B.xy≤2+1C.x+y≤(2+1)2D.xy≥2(2+1)解析:∵x、y∈R+,∴xy≤(2yx)2.∴(2yx)2-(x+y)≥1,即(x+y-2)2≥8.∴x+y≥2(2+1).而xy-(x+y)≤xy-2xy,∴xy-2xy≥1,即(xy-1)2≥2.∴xy≥2+1.即xy≥3+22.答案为A.答案:A3.设x、y∈R,且x+y=4,则3x+3y的最小值为()A.9B.18C.3D.6解析:∵3x+3y≥yx32=432=18.答案:B4.若a>b>1,P=balglg,Q=21(lga+lgb),R=lg(2ba),则()A.Rb>1,∴lga>lgb>0.∴Q>P.∵R=lg2ba>lgab=21(lga+lgb)=Q,∴R>Q>P.答案:B5.下列命题中,①x+x1的最小值是2;②1222xx的最小值是2;③4522xx的最小值是12;④2-3x-x4的最小值是2.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:①x不一定为正数,错;②111122222xxxx≥2,当且仅当x=0时取“=”,正确;③4522xx=41422xx≥2,但42x≠412x,∴等号取不到;④2-3x-x4中x的正负不定,错.答案:A6.x>0,y>0且x+y=1,则yx≤a恒成立的a的最小值是()A.22B.2C.2D.22解析:∵a2≥(yx)2=x+y+2xy,又∵x+y+2xy≤2(x+y)=2,由yx≤a恒成立,得a2≥2,即amin=2.答案:B7.若x+3y+2z=6,则μ=3x+27y+9z的最小值为()A.6B.9C.27D.81解析:μ=3x+27y+9z≥392733xyx=363233333zyx=27.答案:C8.若x>0,则4x+225x的最小值为()A.50B.100C.31003D.20解析:4x+225x=2x+2x+225x≥332100325)2)(2(3xxx.答案:C我综合，我发展9.设x>0,y>0,x2+22y=1,则21yx的最大值为________________.解析:∵x>0,y>0,x2+22y=1,∴21yx=)221(222yx≤423)2221(2222yx2.答案:42310.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的最小值为________________.解析:∵a>0,b>0,a+b≥2ab,∴ab=a+b+3≥2ab+3.∴(ab-3)(ab+1)≥0.∴ab-3≥0.∴ab≥9.答案:911.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角),则cosαcosβcosγ的最大值为______________.解析:∵cos2αcos2βcos2γ≤(3coscoscos222)3=(3sinsinsin3222)3=(313)3=278,又∵α、β、γ均为锐角,∴cosαcosβcosγ≤962.答案:96212.函数①y=x2+24x;②y=2)3(222xx;③y=ex+4e-x;④y=sinx+xsin4(00,y=sinx+xsin4≥xxsin4sin2=4.但sinx≠xsin4,∴最小值不是4.答案:①③13.已知a>b>0,求a2+)(16bab的最小值.分析:可构造乘积为定值,求和的最小值.解:∵a>b>0,∴a-b>0.∴00.∴y=x2(1-3x)=)31(232394xxx≤94×［3)31(2323xxx］3=94×271=2434.当且仅当x23=1-3x,即x=92时取“=”,ymax=.2434我创新，我超越15.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是宽和长分别为x、y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)4分析:根据题意列出等式,表示出料长,求最小值.解:由题意得x·y+21·x·2x=8,∴y=48482xxxx(0