余弦定理的变式与应用刘伟利余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定律，直接运用它可以求解两类解三角形问题，若对余弦定理加以变形并适当迁移、应用于其他问题，则更为方便、灵活。变式1：；；。此变式的实质是关于其中一边的一元二次方程，常和根与系数的关系联用。这在许多问题的处理上，显得简捷明快，比如：已知三角形的两边与其中一边的对角，求第三边。例1.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，，求角B和边c。解析：由，得，整理得解得或。当时，，所以；当时，，所以，所以。点评：本题利用变式1求解很是巧妙。变式2：；；。此变式对于给定三角形两边之和及其夹角的问题，求解非常便利。例2.在△ABC中，，，a、b是方程的两个根，且，求：（1）角C的度数；（2）AB的长度。解析：（1）由得，所以，则。（2）因为a、b是方程的两个根，用心爱心专心所以，。由变式2得，所以，即AB的长度为。点评：本题考虑到，据此先求出A+B，再利用三角形内角和定理求出C的度数，最后利用变式2求得AB的长度。变式3：将，两式相加可得，即。同理，a，这就是三角形中的射影定理。例3.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。解析：原等式即，整理得。因为，所以，即。故△ABC是直角三角形。点评：三角形中的射影定理和正、余弦定理一样，也是沟通三角形边角关系的重要工具。用心爱心专心
