第二章等式与不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系考点1一元二次方程的解集1.下列说法正确的是()。A.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0B.方程x2=x的解是x=1C.一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x=-b±❑√b2-4ac2aD.方程x(x+2)(x-3)=0的解集有三个元素答案：D解析：A.当ax2+bx+c=0中的a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项错误;B.方程x2=x的解是x=1或x=0,故本选项错误;C.不能直接用求根公式求一元二次方程的根,要先判断Δ的符号,故本选项错误;D.方程x(x+2)(x-3)=0的实数根是x=0或x=-2或x=3,共3个,故本选项正确;故选D。2.方程-3x2+5x-1=0的解集为()。A.x=-5±❑√136B.{5+❑√136}C.{5-❑√136,5+❑√136}D.{x1=5-❑√136,x2=5+❑√136}答案：C解析：-3x2+5x-1=0,b2-4ac=52-4×(-3)×(-1)=13>0,x=5±❑√136,故选C。3.方程x2=x+1的解是()。A.x=1±❑√52B.x=❑√x+1C.x=±❑√x+1D.无实数根答案：A解析：x2=x+1,x2-x-1=0,b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,x=1±❑√52,故选A。4.下列方程的解集为空集的是()。A.x4+x2=0B.❑√x+1=xC.x2-4x-2=1D.x2-2x+3=0答案：D解析：A.x4+x2=0,变形得x2(x2+1)=0,解得x=0,本选项不合题意:B.❑√x+1=x,两边平方得x+1=x2,即x2-x-1=0,解得x=1±❑√52,本选项不合题意;C.x2-4x-2=(x+2)(x-2)x-2=x+2=1,解得x=-1,经检验,x=-1是原方程的解,本选项不合题意;D.x2-2x+3=0, b2-4ac=(-2)2-4×3=-8<0,∴此方程无解,本选项符合题意。故选D。5.解方程x2-2❑√2x+2=0时,确定a,b,c的值是()。A.a=1,b=2❑√2,c=2B.a=1,b=-2❑√2,c=2C.a=-1,b=-2❑√2,c=-2D.a=-1,b=2❑√2,c=-2答案：B解析： 一元二次方程一般形式为x2-2❑√2x+2=0,∴a=1,b=-2❑√2,c=2,故选B。6.下面结论错误的是()。A.方程x2+4x+5=0,则x1+x2=-4,x1x2=5B.方程2x2-3x+m=0有实根,则m≤98C.方程x2-8x+1=0可配方得(x-4)2=15D.方程x2+x-1=0的两根为x1=-1+❑√52,x2=-1-❑√52答案：A解析：A.方程x2+4x+5=0, Δ=42-4×5<0,则方程无实数根,此选项结论错误;B. 方程2x2-3x+m=0有实根,∴Δ=9-8m≥0,∴m≤98,此选项结论正确;C.方程x2-8x+1可配方得(x-4)2=15,此选项结论正确;D.解方程x2+x-1=0得x1=-1+❑√52,x2=-1-❑√52,此选项结论正确。故选A。7.求下列方程的解集:(1)(3x-1)2=x2;答案：(3x-1)2=x2,开方得3x-1=±x,即3x-1=x或3x-1=-x,解得x1=12,x2=14。则方程的解集为{12,14}。(2)4x2+2x-1=0;答案：4x2+2x-1=0,Δ=b2-4ac=22-4×4×(-1)=20>0,x=-2±❑√202×4,x1=-1+❑√54,x2=-1-❑√54,则方程的解集为{-1-❑√54,-1+❑√54}。(3)(2x-5)2-9=0;答案：(2x-5)2-9=0,(2x-5)2=9,开方得2x-5=±3,解得x1=4,x2=1。则方程的解集为{1,4}。(4)(x-1)2+2x(x-1)=0。答案：(x-1)2+2x(x-1)=0,(x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2x=0,x1=1,x2=13,则方程的解集为{1,13}。8.解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0。答案：解: 关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程,∴a≠0。∴由原方程,得x2+bax=-ca,等式的两边都加上一次项系数一半的平方(b2a)2,得x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2,即(x+b2a)2=b2-4ac4a2。若b2-4ac>0,则开方,得x+b2a=±❑√b2-4ac4a2,即x+b2a=±❑√b2-4ac4a2,移项,得x=-b2a±❑√b2-4ac4a2,∴原方程的解集为-b-❑√b2-4ac2a,-b+❑√b2-4ac2a;若b2-4ac=0,解得x1=x2=-b2a,原方程的解集为{-b2a};若b2-4ac<0,原方程的解集为⌀。考点2一元二次方程根与系数的关系9.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实根,则1x1+1x2=()。A.-4B.-1C.1D.4答案：D解析：将1x1+1x2通分后可得x1+x2x1x2,代入x1+x2=4,x1·x2=1,即可得出答案, x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根,∴x1+x2=4,x1·x2=1,1x1+1x2=x1+x2x1x2=41=4,故答案选D。10.已知实数x1,x2满足x1+x2=4,x1·x2=-3,则以x1,x2为根的一元二次方程可能是()。A.x2-4x-3=0B.x2+4x-3=0C.x2-4x+3=0D.x2+4x+3=0答案：A解析： x1+x2=4,x1x2=-3,∴以x1,x2为根的一元二次方程可能为x2-4x-3=0,故选A。11.若方程x2-3x-1=0两实根为x1,x2,则x12+x22=()。A.3B.-3C.11D.-11答案：C解析：根据题意得x1+x2=3,x1·x2=-1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=32-2×(-1)=11。故选C。12.已知一元二次方程x2...
