第8课幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【基础练习】1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．2.把函数的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到的图像，则．3.函数的定义域为___R__；单调递增区间；值域．4.已知函数是奇函数，则实数a的取值．5.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．6.已知函数过定点，则此定点坐标为．【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1），，，；（2），，，其中；（3），．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1），而，．（2）且，．1（3）．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．分析：研究函数的单调性，将恒成立问题转化为求最值问题．（1）解：因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）=－f（－1）知（2）解法一：由（1）知，易知在上为减函数．又因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式解法二：由（1）知．又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式点评：本题第（2）问解法二，计算量大；而解法一利用单调性可以达到简化目的．例3.已知函数，求证：（1）函数在上是增函数；2（2）方程没有负根．分析：注意反证法的运用．证明：（1）设，，，，又，所以，，，则故函数在上是增函数．（2）设存在，满足，则．又，即，与假设矛盾，故方程没有负根．点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．例4.已知函数，．（1）证明是奇函数，并求的单调区间；（2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．分析：利用定义证明函数的奇偶性和单调性．解：（1）函数的定义域为关于原点对称，又，是奇函数．设，则，3，，即函数在上是增函数．又是奇函数，则函数在上是增函数．（2）计算，，由此概括对所有不等于零的实数x有．．点评：本题主要考察幂函数的性质，以及分析，归纳能力和逻辑思维能力．【反馈演练】1．函数对于任意的实数都有（C）A．B．C．D．2．设，则（A）A．－2
