平面向量、数系的扩充与复数的引入单元测试题一、选择题(本大题共60分,每小题5分)1、若复数2(32)(1)aaai是纯虚数,则实数a的值为(B)A.1B.2C.1或2D.-1解析:2320aa得1a或2,且10a,得1a2a,选B.2、设a是实数,且1i1i2a是实数,则a(B)A.12B.1C.32D.23、复数abi与cdi的积是为实数的充要条件是(A)A.0adbcB.0acbdC.acbdD.adbc4、如果222(32)zaaaai为纯虚数,那么实数a的值为(C)A.1B.2C.2D.1或25、设点P分有向线段21PP的比是λ,且点P在有向线段21PP的延长线上,则λ的取值范围是(A)A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(-∞,0)D.(-∞,-21)6、设四边形ABCD中,有DC=21AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是(C)A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形7、已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是(C)A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)8、如图.点M是ABC的重心,则MCMBMA为(D)A.0B.4MEC.4MDD.4MF9、已知ABC的顶点)3,2(A和重心)1,2(G,则BC边上的中点坐标是(A)A.)3,2(B.)9,2(C.)5,2(D.)0,2(10、已知032),,(),3,4(),2,5(cbayxcba若则c等于(D)用心爱心专心(A)81,3(B)138,33(C)134,33(D)134,3311、已知点A(2,3)、B(10,5),直线AB上一点P满足|PA|=2|PB|,则P点坐标是(C)(A)2213,33(B)(18,7)(C)2213,33或(18,7)(D)(18,7)或(-6,1)二、填空题(本大题共16分,每小题4分)13、已知向量a=(1,2),b=(3,1),那么向量2a-21b的坐标是___(21,321)___.14、已知A(2,3),B(-1,5),且AC=31AB,AD=-41AB,则CD中点的坐标是_(815,1237)_.15、724i的平方根是(43)i.解析:设2()724abii,其中,abR,所以227224abab解得43ab或43ab,故724i的平方根是(43)i.16、若z是实系数方程220xxp的一个虚根,且2z,则p4.解析:设zabi(abR,),则方程的另一个根为zabi,且2z222ab,由韦达定理,得:22,zza1,a23,3,bb所以(13)(13)4.pzzii用心爱心专心三、解答题(本大题共76分)17、(12)设关于x的方程2(tan)(2)0xixi有实根,求锐角及这个实根.解答:设实数根为a,则2(tan)(2)0aiai,即2tan2(1)0aaai a,tanR,∴2tan2010aaa∴1a且tan1,又02∴418、(12分)如图,ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。解答:连结ACDC=21AB=21a,……AC=AD+DC=b+21a,……BC=AC-AB=b+21a-a=b-21a,……NM=ND+DM=NA+AD+DM=b-41a,……MN=-NM=41a-b19、(本题满分12分)在复数范围内解方程iiizzz23)(||2(i为虚数单位)解答:设(,)zabiabR,则zabi用心爱心专心由于222||()2zzziabai32ii=22(3)(2)21ii=1i所以222abai=1i根据复数的相等得22121aba解得13,22ab因此,1322z即为所求.20、(14分)已知△ABC的顶点坐标为A(1,0),B(5,8),C(7,-4),在边AB上有一点P,其横坐标为4,在边AC上求一点Q,使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.解答:设11211541,2,则ACQAABPA431又||||ACAQABAPSSABCAPQ32,021||43|,|43||||2222又则ACQAABPA设点Q的坐标为(xQ,yQ),则321)4()32(,3217)32(1QQyOx,得)38,5(,38,5QyxQQ21、(12分)设,Cz满足下列条件的复数z所对应的点z的集合表示什么图形.12141log21zz为半径的圆的外部。以)为圆心,(为半径的圆的内部或以)为圆心,,表示以点(所以或所以或可得:化简得:可得解:由8012018|1|2|1|02...