高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用应用案巩固提升 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题VIP专享VIP免费

4.5.3函数模型的应用[A基础达标]1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元解析：选B.设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，函数图象过点(1，800)，(2，1300)，则解得所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．2．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()解析：选A.从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选A.3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有亏损B．略有盈利C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选A.由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)()A．1.78B．2.77C．2.89D．4.40解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln2＝－0.693，解得t≈2.77.5．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．解析：由三角形相似，得＝，得x＝×(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：15，126．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2(t≥0)．答案：4320·2(t≥0)7．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e2×5×ln2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.答案：2ln210248．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v(单位：m/s)可以表示为v＝5log2，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)当燕子静止时，它的速度v＝0m/s，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log2，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2＝5log28＝15，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.9．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分)x(单位：克)0129…y03…(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数f(x)的最大值．解：(1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表格数据可得解得所以，当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x，当x≥6时，f(x)＝.由表格数据可得f(9)＝＝，解得t＝7.所以当x≥6时，f(x)＝，综上，f(x...