第二讲圆的方程与位置关系一．求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：222()()xaybr．(2)方程222()()xaybr表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：220xyDxEyF.这个方程就叫做圆的一般方程．(2)对方程：220xyDxEyF.①若2240DEF，则方程表示以(2D，)2E为圆心,FED42122为半径的圆；②若0422FED，则方程只表示一个点(2D，)2E；③若0422FED，则方程不表示任何图形．4.点00()Axy，与⊙C的位置关系(1)|AC|r⇔点A在圆外⇔22200()()xaybr－＋－.二．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为1C、2C，圆心距为12dCC，半径分别为R、r(Rr).(1)两圆相离：无公共点；dRr，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；dRr，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；RrdRr，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；dRr，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0dRr，方程组无解.特别地，0d时，为两个同心圆.【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一圆的方程【例1】（1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为。（2）求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．【答案】（1）x2+（y–3）2=1（2）2＋2＝.【解析】（1）x2+（y–3）2=1由题意，可设圆心坐标为（0，a）． 圆的半径为1，∴圆的标准方程为x2+（y–a）2=1，又圆过点（1，3），∴12+（3–a）2=1，解得a=3，∴所求圆的方程为x2+（y–3）2=1．（2）方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C，∴kCB＝. 圆C与直线l相切，∴kCB·kl＝－1，即·＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③联立①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30，∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．又kAB＝＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.②由①②联立，解得即圆心坐标为.∴所求圆的半径r＝＝，∴所求圆的方程为2＋2＝.【套路总结】求圆方程的方法及思路1.直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．2.待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【举一反三】1.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A．x2+y2−4x+6y+8=0B．x2+y2−4x+6y−8=0C．x2+y2−4x−6y=0D．x2+y2−4x+6y=0【答案】D【解析】因为圆C的圆心坐标为(2,-3),所以设圆C的方程为(x−2)2+(y+3)2=r2，因为圆过点(-1,-1)，所以(−1−2)2+(−1+3)2=r2∴r2=13，即(x−2)2+(y+3)2=13，展开得x2+y2−4x+6y=0，选D.2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点(0,5)M在圆C上，且圆心到直线20xy的距离为455，则圆C的方程为__________.【答案】22(2)9.xy【解析】设(,0),(0)Caa，则2|2|452,25355aar，故圆C的方程为22(2)9.xy3.已知圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在:10lxy上,求圆心为C的圆的标准方程．【答案】22(3)(2)25xy【解析】（1）法一（待定系数法）、设圆的标准方程为：222()()xaybr，则由题意得：222222(1)(1)(2)(2)10abrabrab①②③.②－①得：330ab…………………………………………④⑤⑥③－④得：2b，代入④得：3a.将3,2ab代入①得：225r.所以所求圆的标准方程为：22(3)(2)25xy.法二、由点斜式可得线段AB的...
