第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)如果x=y,a为有理数,那么下列等式一定成立的是()A.1-y=1-xB.x2=y2C.xa=yaD.ax=ay解析A.∵x=y,∴-x=-y.∴-x+1=-y+1,即1-y=1-x,故A一定成立;B.如果x=y,则x2=y2,故B一定成立;C.当a=0时,xa=ya无意义,故C不一定成立;D.a≠0时,由等式的性质可知:ax=ay,a=0时,原式为0=0,故D一定成立.答案ABD2.多项式a+5与2a-8互为相反数,则a=()A.-1B.0C.1D.2解析根据题意得a+5+2a-8=0,移项合并得3a=3,解得a=1.答案C3.已知三角形两边长分别为4和7,第三边的长是方程x2-17x+66=0的根,则第三边的长为()A.6B.11C.6或11D.7解析方程x2-17x+66=0,分解因式得(x-6)(x-11)=0,解得x=6或x=11,当x=6时,三边长为4,6,7,符合题意;当x=11时,三边长为4,7,11,不合题意舍去,则第三边长为6.答案A4.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,则m的值应为()A.2B.-2C.2或-2D.1解析∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,∴m2-4=0且m-2≠0,解得m=-2.故选B.答案B5.分解因式:(a2+1)2-4a2=.解析(a2+1)2-4a2=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a-1)2.答案(a+1)2(a-1)26.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?”译文:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽各是多少步?”经计算可得,长步,宽步.解析设矩形田地长为x步,宽为(x-12)步,根据题意列方程得x(x-12)=864,x2-12x-864=0,解得x1=36,x2=-24(舍).∴x-12=24.故长为36步,宽为24步.答案36247.把下列各式因式分解:(1)4x2-8x+4;(2)(x+y)2-4y(x+y).解(1)原式=4(x2-2x+1)=4(x-1)2.(2)原式=(x+y)(x+y-4y)=(x+y)(x-3y).8.先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),其中x=1,y=-1.解原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.当x=1,y=-1时,原式=9xy=-9.能力提升练1.(多选题)下列解方程过程中,错误的是()A.将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+1=8x+5B.由x0.7+0.17+0.4x0.03=1,得10x7+17+40x3=100C.由-23x=3,得x=-92D.将3-5x-12=x+23去分母,得3-3(5x-1)=2(x+2)解析A项,将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+2=8x+5,故A错误;B项,由x0.7+0.17+0.4x0.03=1,得10x7+17+40x3=1,故B错误;C项,由-23x=3,得x=-92,故C正确;D项,将3-5x-12=x+23去分母,得18-3(5x-1)=2(x+2),故D错误.答案ABD2.若(x+2)是多项式4x2+5x+m的一个因式,则m等于()A.-6B.6C.-9D.9解析∵4x2+5x+m=(x+2)(4x+n)=4x2+(8+n)x+2n,∴8+n=5,m=2n,∴n=-3,m=-6.答案A3.若关于x的一元一次方程2x-k3−x-3k3=1的解集是{-1},则k的值是.解析由2x-k3−x-3k3=1得x=3-2k.又∵-1是方程的解,∴k=3-x2=2.答案24.要在二次三项式x2+()x-6的括号中填上一个整数,使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么括号中的数可以是.解析-6可以分成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.答案1,-1,5,-55.已知关于x的方程4a+43+2x=3x-1的解集为A,关于x的方程3x-a-4=0的解集为B,若A=B,求a的值.解由方程4a+43+2x=3x-1,解得x=4a+73,即A={4a+73},由方程3x-a-4=0,解得x=a+43,即B={a+43}.又A=B,所以4a+73=a+43,解得a=-1.6.解下列一元二次方程:(1)x2-(m2+m)x+m3=0;(2)x2-x-a2+a=0.解(1)因为x2-(m2+m)x+m3=(x-m2)(x-m),所以原方程化为(x-m2)(x-m)=0,解得x=m2或x=m,当m=0或1时,m2=m,此时原方程的解集为{0}或{1};当m≠0且m≠1时,m2≠m,此时原方程的解集为{m,m2}.(2)因为x2-x-a2+a=x2-x-a(a-1)=(x-a)[x+(a-1)],所以原方程化为(x-a)[x+(a-1)]=0,解得x=a或x=1-a.当a=12时,a=1-a,此时原方程的解集为{12};当a≠12时,此时原方程的解集为{a,1-a}.素养培优练关于x的方程mx+4=3x-n,分别求m,n为何值时,原方程的解集为:(1)单元素集;(2)R;(3)⌀.解由题意知(m-3)x=-n-4.(1)当m-3≠0,即m≠3,n为任意实数时,方程的解集为单元素集,即{-n-4m-3}.(2)当m-3=0且-n-4=0,即m=3且n=-4时,方程的解集为R.(3)当m-3=0且-n-4≠0,即m=3且n≠-4时,方程的解集为⌀.
