专题3.1导数的概念及运算【考试要求】1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.【知识梳理】1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝lim称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.【微点提醒】1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.′＝－.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.【教材衍化】2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－9B.－3C.9D.15【答案】C【解析】因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9.23.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝______m/s2.【答案】－9.8t＋6.5－9.8【解析】v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.【真题体验】4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e【答案】B【解析】f′(x)＝2018＋lnx＋x×＝2019＋lnx.由f′(x0)＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.【答案】e【解析】由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·，则f′(1)＝e.6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为________.【答案】y＝x＋1【解析】设y＝f(x)，则f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1.【考点聚焦】考点一导数的运算角度1根据求导法则求函数的导数【例1－1】分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝x；(3)f(x)＝ln.【答案】见解析【解析】(1)y′＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋＝ex.(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.(3)因为y＝l...
