限时规范训练平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时________分值80分，实际得分________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为()A.B．－C．3D．－3解析：选C.＝，由题意知2a－1＝a＋2，解之得a＝3.2．若复数z满足(1＋2i)z＝(1－i)，则|z|＝()A.B.C.D.解析：选C.z＝＝⇒|z|＝.3．已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是()A．－1＋3iB．1＋3iC．1－3iD．－1－3i解析：选B.－z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.4．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝()A．iB．1C．－iD．－1解析：选C.∵z为纯虚数，∴a＝，∴＝＝＝＝－i.5．已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.∵复数z＝＝＝＋i，∴z－|z|＝＋i－＝＋i，对应的点所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为()A.B.－1C．1D.解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，z的实部为，故选A.7．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：选B.由MA＋MB＋MC＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为边BC的中点，则AM＝AD＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，所以AB＋AC＝3AM，故m＝3，故选B.8．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是()A．24B．8C.D.解析：选B.∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，∴＋＝×(2x＋3y)＝≥＝8，当且仅当2x＝3y＝时，等号成立．∴＋的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD中，AC＝5，BD＝4，则AB·BC＝()A.B．－C.D．－解析：选C.因为BD2＝(AD－AB)2＝AD2＋AB2－2AD·AB，AC2＝(AD＋AB)2＝AD2＋AB2＋2AD·AB，所以AC2－BD2＝4AD·AB，∴AD·AB＝AB·BC＝.10．在△ABC中，已知向量AB＝(2,2)，|AC|＝2，AB·AC＝－4，则△ABC的面积为()A．4B．5C．2D．3解析：选C.∵AB＝(2,2)，∴|AB|＝＝2.∵AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2cosA＝－4，∴cosA＝－，∵0＜A＜π，∴sinA＝，∴S△ABC＝|AB|·|AC|sinA＝2.故选C.11．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋AC且|OA|＝|AB|，则向量BA在BC方向上的投影为()A.B.C．－D．－解析：选A.由2AO＝AB＋AC可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|，由题意知|OA|＝|AB|＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos∠ABC＝1×cos60°＝.故选A.12．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AM·AN的最大值为()A．3B．2C．6D．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM·AN等于AM与AN在AM方向上的投影之积，所以(AM·AN)max＝AM·AC＝·(AB＋AD)＝AB2＋AD2＋AB·AD＝9.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.解析：∵z＝＝＝＝＝＝－＋i，∴z·＝＝＋＝.答案：14．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b夹角的大小为________．解析：|a＋xb|≥|a＋b|恒成立⇒a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·bx－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0⇒(a·b＋1)2≤0，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角的大小为.答案：π15．已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝，其外接圆的圆心为O，则AO·BC＝________.解析：如图，取BC的中点M，连OM，AM，则AO＝AM＋MO，∴AO·BC＝(AM＋MO)·BC.∵O为△ABC的外心，∴OM⊥BC，即OM·BC＝0，∴AO·BC＝AM·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝(62－42)＝×20＝10.答案：1016．已知非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，〈c－a，c－b〉＝，则的最大值为________．解析：设OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.∵非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|，∴△OAB是等边三角形．设OC＝c，则AC＝c－a，BC＝c－b.∵〈c－a，c－b〉＝，∴点C在△ABC的外接圆上，∴当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值，为＝.答案：
