§5.6复数的四则运算及几何意义1．复数的加、减、乘、除的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1±z2＝；(2)z1·z2＝；(3)＝(z2≠0)．2．复数加、减法的几何意义以复数z1，z2分别对应的向量OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量OZ就是____________．z1－z2对应的向量是____________．自查自纠1．(1)(a±c)＋(b±d)i(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i(3)＋i2．复数z1＋z2所对应的向量Z2Z1()若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i解：z＝i(3－2i)＝2＋3i，∴＝2－3i.故选A.()若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2解：因为(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0.故选B.()设复数z满足＝i，则|z|＝()A．1B.C.D．2解：由＝i，得z＝＝i，所以|z|＝1.故选A.()i是虚数单位，计算的结果为________．解：＝＝＝－i.故填－i.设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i＝________.解：＋i＝＋i(1－i)＝－i(1＋i)＋i(1－i)＝2.故填2.类型一复数的代数运算i是虚数单位，计算×的值．解： ＝＝－(i＋1)，＝＝1，∴原式＝－(i＋1)×＝－.【点拨】(1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．(2)复数z＝a＋bi与平面向量OZ＝(a，b)是一一对应的．i是虚数单位，＋＝___________.解：原式＝＋＝＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.故填0.类型二复数的模与共轭复数(1)设复数z的共轭复数为，若z＋＝4，z＝8，则＝()A．iB．－iC．±1D．±i(2)若z不是纯虚数，且|z|＝r≠0，求证：是一个实数．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.由z＋＝4，得a＝2，又zz＝8，则a2＋b2＝8，得b＝±2，于是得或则＝±i，故选D.(2)证明：设z＝a＋bi(a，b∈R且a≠0)，则r2＝a2＋b2，z2＝a2－b2＋2abi.易知＝＝＝，∴是一个实数．【点拨】由于复数z的模|z|和共轭复数都可用复数z的实部与虚部表示，因此解答有关复数的模与共轭复数的题目时，可设复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，这样易于表示题目的条件和结论，具有较强的可操作性，为解题创造了有利的条件．()设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若＝，则z11＝z22D．若＝，则z＝z解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.若＝0，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝0，即a＝c，b＝d，∴1＝2，故A正确；若z1＝2，则a＝c，b＝－d，∴1＝z2，故B正确；若＝，则a2＋b2＝c2＋d2，∴z11＝z22，故C正确；而D不一定成立，若z1＝1＋i，z2＝2，则＝＝2，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.故选D.注意：记住等式z＝＝||.1．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i，＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－±i.(4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．3．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；(3)若z＋z＝0，则z1＝z2＝0.4．注意利用共轭复数的性质，将z转化为，即复数的模的运算，常能使解题简捷．1．()设复数z＝(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则在复平面内i对应的点的坐标为()A．(1，1)B．(－1，1)C．(1，－1)D．(－1，－1)解： z＝＝－1＋i，∴i＝i(－1－i)＝1－i，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．故选C.2．()已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解：由题得z＝＝＝－i(1－i)＝－1－i.故选D.3．()已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必...
