高考数学 玩转压轴题 专题1.7 极值点偏移第五招---函数的选取-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题1.7极值点偏移第五招---函数的选取于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数.那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★已知函数exfxax有两个不同的零点1x，2x，其极值点为0x．（1）求a的取值范围；（2）求证：1202xxx；（3）求证：122xx；（4）求证：121xx．解：（1）exfxa，若0a，则0fx，fx在R上单调递增，fx至多有一个零点，舍去；则必有0a，得fx在,lna上递减，在ln,a上递增，要使fx有两个不同的零点，则须有ln0efaa．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x时，fx；当x时，fx）．1（3）由所证结论可以看出，这已不再是fx的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：2（ii）构造函数2Gxgxgx，则2222222e1e12ee12xxxxGxgxgxxxxxxxx（4）（i）同上；（ii）构造函数1Gxgxgx，则31122222111e1e111ee1xxxxGxgxgxxxxxxxxxx当01x时，10x，但因式1eexxx的符号不容易看出，引进辅助函数1eexxxx，则11e1exxxx，当0,1x时，0x，得x在0,1上递增，有10x，则0Gx，得Gx在0,1上递增，有10GxG，即101gxgxx；（iii）将1x代入（ii）中不等式得1211gxgxgx，又21x，111x，gx在1,上递增，故211xx，121xx．点评：虽然做出来了，但判定因式222ee2xxxx及1eexxx的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然gx的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：0eelnlnlnlnxfxaxaxaxxxa，记函数lnhxxx，4则有12lnhxhxa．接下来我们选取函数hx再解（3）、（4）两问．（3）（i）11hxx，得hx在0,1上递减，在1,上递增，有极小值11h，又当0x时，hx；当x时，hx，由12hxhx不妨设1201xx．5【点评】用函数lnhxxx来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11lnlnxxa，22lnlnxxa相加得12120ln2ln2ln2xxxxaax．注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定1x的范围？这是因为1x的范围0,1较2x的范围1,小，以第（3）问为例，若给定1,x，因为所构造的函数为62Hxhxhx，这里0x，且20x，得02x，则当2x时，Hx无意义，被迫分为两类：①若22x，则1222xxx，结论成立；②当1,2x时，类似于原解答．而给字0,1x，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x或2x的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？提示：用函数lnxyx来做212exx，用函数lnyxax来做122xxa．练习2：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知ln()fxxmmx（1）求fx的单调区间；（2）设1m,1x，2x为函数fx的两个零点，求证120xx.提示：将0fx，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数1()ln()fxaxaRx有两个零点1212,()xxxx，求证：112231axxe.7只要证：1121232axxxxe即证：1122axxe，即证：1212axex，由()hx的单调性知，只需证：1121()()(2e)ahxhxhx...