第五章三角函数5.7三角函数的应用考点1函数式y=Asin(ωx+φ)描述简谐运动时的基本概念问题1.(2018·重庆第一中学高二期末)已知简谐运动f(x)=2sin(π3x+φ)(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()。A.T=6,φ=π6B.T=6,φ=π3C.T=6π,φ=π6D.T=6π,φ=π3答案:A解析:T=2πω=2ππ3=6。 f(x)的图像过点(0,1),∴sinφ=12。 -π2<φ<π2,∴φ=π6。2.(2018·安徽滁州高二期末)最大值为12,最小正周期为2π3,初相为π6的函数表达式是()。A.y=12sin(x3+π6)B.y=12sin(x3-π6)C.y=12sin(3x-π6)D.y=12sin(3x+π6)答案:D解析:由最小正周期为2π3,排除A,B;由初相为π6,排除C。3.y=-2sin(3x-π3)的频率为,周期为,初相φ=。答案:32π23π23π解析:y=-2sin(3x-π3)=2sin[π+(3x-π3)]=2sin(3x+23π),故周期为23π,频率为32π,初相为23π。4.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:ωx+φ0π2π3π22πxπ12π45π127π123π4y020-20则振幅是,相位是。答案:23x-π4解析:由表格得A=2,34π-π12=2πω,∴ω=3。∴ωx+φ=3x+φ。当x=π12时,3x+φ=π4+φ=0,∴φ=-π4。考点2知模型求参数问题5.(2019·福建闽侯第六中学高三上期末)如图5-7-1为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足关系式y=Asin(ωx+φ)+2,则有()。图5-7-1A.ω=5π12,A=5B.ω=2π15,A=3C.ω=5π12,A=3D.ω=152π,A=5答案:B解析: 水轮的半径为3m,水轮圆心O距离水面2m,∴A=3。又水轮每分钟旋转4圈,故转1圈需要15s,∴T=15=2πω,∴ω=2π15,故选B。6.(2019·四川泸州高三上期末)某商品一年内每件出厂价在5万元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价7万元,7月份达到最低价3万元,根据以上条件可以确定f(x)的解析式是()。A.f(x)=2sin(π4x+π4)+5¿B.f(x)=7sin(π4x-π4)+5(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=7sin(π4x+π4)+5(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin(π4x-π4)+5(1≤x≤12,x∈N*)答案:D解析:根据题意,得T=2×(7-3)=8,则ω=2πT=π4。由{A+B=7,-A+B=3,得{A=2,B=5。当x=3时,2sin(π4×3+φ)+5=7,得φ=-π4,∴f(x)=2sin(π4x-π4)+5(1≤x≤12,x∈N*)。故选D。7.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据。t/时03691215182124y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+B。(1)根据上表数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式;答案:由表中数据知周期T=12,∴ω=2πT=π6。由t=0,y=1.5,得A+B=1.5。由t=3,y=1.0,得B=1.0。∴A=0.5,B=1。∴y=12cosπ6t+1,t∈[0,24]。(2)依据规定,当海浪高度等于或高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8时至20时之间,有多长时间可供冲浪爱好者进行运动。答案: y≥1,∴12cosπ6t+1≥1。∴cosπ6t≥0。∴2kπ-π2≤π6t≤2kπ+π2(k∈Z)。∴12k-3≤t≤12k+3(k∈Z)。又 8≤t≤20,∴k=1,9≤t≤15。∴冲浪爱好者从9时到15时,有6小时可进行运动。考点3建立三角函数模型问题8.如图5-7-2,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(❑√2,-❑√2),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为()。图5-7-2图5-7-3答案:C解析: P0(❑√2,-❑√2),∴∠P0Ox=π4。按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t-π4,此时P点纵坐标为2sin(t-π4),∴d=2|sin(t-π4)|。当t=0时,d=❑√2,排除A,D项;当t=π4时,d=0,排除B项,故选C。9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=,t∈[0,60]。答案:0sinπt60解析:如图所示,经过t秒钟,秒针转过的角度为∠AOB=πt30。取AB的中点C,则∠AOC=πt60,d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=10sinπt60,t∈[0,60]。10.如图5-7-4所示为一个观览车示意图,该观览车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到O...
