双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)概念方法微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
b>0时，10时，e＝(亦称等轴双曲线)；当0.1．（2020•天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，则直线的方程为，双曲线的方程为的渐近线方程为，的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，，，，，双曲线的方程为，故选．2．（2020•新课标Ⅰ）设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则△的面积为A．B．3C．D．2【答案】B【解析】由题意可得，，，，，，△为直角三角形，，，，，，△的面积为，故选．3．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为．是上一点，且．若△的面积为4，则A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】由题意，设，，可得，，，，可得，可得，解得．故选．4．（2019•全国）已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为A．B．2C．D．【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为，右焦点为，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，，，，，，，，故选．5．（2019•新课标Ⅲ）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点．若，则的面积为A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．由双曲线方程可得，，，则，则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．联立，解得，．．故选．6．（2019•新课标Ⅲ）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点．若，则的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的右焦点为，，渐近线方程为：，不妨在第一象限，可得，，，所以的面积为：．故选．7．（2019•浙江）渐近线方程为的双曲线的离心率是A．B．1C．D．2【答案】C【解析】根据渐近线方程为的双曲线，可得，所以则该双曲线的离心率为，故选．8．（2019•北京）已知双曲线的离心率是，则A．B．4C．2D．【答案】D【解析】由双曲线，得，又，得，即，解得，．故选．9．（2019•新课标Ⅱ）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为A．B．C．2D．【答案】A【解析】如图，由，可知过点，，由图可得，得．故选．10．（2019•新课标Ⅰ）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，则，，得，．故选．11．（2018•天津）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，，，，，是梯形，是的中点，，，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得．则双曲线的方程为：．故选．12．（2018•天津）已知双曲线...
