本章自主检测一．填空题1．如果直线与平面的一条垂线垂直，那么与的位置关系是在平面内或者∥。2．侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是。3．一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为。4．若、表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为3个。①②③④5．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列命题：⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥，b∥a∥b；⑶c∥，c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸a∥c，∥ca∥；⑹a∥，∥a∥。其中正确的命题是⑴、⑷。6．三平面两两垂直，他们的三条交线交于点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP=。7．若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是，底面和这个截面的距离是，则棱锥的高为30cm。8．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有__4_____个。9．如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为AB∥CD时，体积恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．10．用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的_①③④___。（把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形②直角梯形③菱形④正方形11．已知是异面直线，那么：①必存在平面，过且与平行；②必存在平面，过且与垂直；③必存在平面，与，都垂直；④必存在平面，与，的距离都相等.其中正确的结论是①④。12．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为。13．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面的距离为2或14_____。14．已知正方体ABCD－，则该正方体的体积、四棱锥-ABCD的体积以及该正方体的1外接球的体积之比为。二、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A,此四棱锥的三视图如图:(1)根据图中的信息,在四棱锥P-ABCD的侧面、底面和棱中,请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种):①一对互相垂直的异面直线②一对互相垂直的平面③一对互相垂直的直线和平面(2)计算四棱锥P-ABCD的表面积.解：（1）①②③（2）16．（本小题满分14分）已知正方体，是底对角线的交点.证明：（1）面；(2）面．OBCADD1C1B1A1证明：（1）连结，设连结，是正方体，是平行四边形．且．又分别是的中点，且．2是平行四边形．面，面面（2）面．又，，．同理可证，又，面．17．（本小题满分16分）如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体．（1）画出该几何体的正视图；（2）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；（3）．求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．解：（1）该几何体的正视图为：（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，则D1O∥O1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1，所以有直线D1O∥平面BA1C1；（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，另一方面，B1D1⊥A1C1，又 DD1∩B1D1=D1，∴A1C1⊥平面BD1D， A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．18．（本小题满分16分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD上（不含C,D两点）（1）求多面体ABCDE的体积；（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；(3)当的值=时，能使AC∥平面EFB，并给出证明。解：(1)设AB中点为H，则由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．又BD∥AE，所以BD与AE共面．3ABCEDF又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．故四棱锥C－ABDE的体积为VC－ABDE＝SABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．(2)取BC中点G，连FG，AG．因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．又AGÌ面ABC，所以BD⊥AG．又AC＝AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．又因为F是CD的中点且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．又AE＝1，所以AE＝FG，所以四边形AEFG是平行四边形，...
