课时分层作业(二十二)点到直线的距离两条平行直线间的距离(建议用时：60分钟)一、选择题1．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0B[设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21，即所求直线方程为3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0.故选B.]2．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有()A．0条B．1条C．2条D．3条B[联立得∴两直线交点为(0，1)，由交点到原点的距离1，故只有1条．]3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为()A．(0，－2)B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4)D．(1，1)C[直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.]4．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A．B．－C．－或－D．－或C[由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或－.故选C.]5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是()A．B．C．4D．2B[∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.]二、填空题6．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________．a>7或a<－3[根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.]7．与两平行线l1：3x＋4y－10＝0和l2：3x＋4y－12＝0距离相等的直线l的方程为________．3x＋4y－11＝0[设P(x，y)是所求直线上任一点，则＝，化简得3x＋4y－11＝0，即为所求直线的方程．]8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．3[直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，∴|PQ|min＝3.]三、解答题9．在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，C点在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．[解]设C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.又线段AB所在直线的方程为3x＋4y－17＝0，∴解得或∴点C的坐标为(－1，0)或.10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．[解]设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，∴|AD|＝，|BC|＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.1．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A．3B．2C．3D．4A[由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.]2．点P(2，3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为()A．3，－3B．5，2C．5，1D．7，1C[直线恒过点A(－3，3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.]3．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．(5，－3)[由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，解方程组得∴所求点的坐标为(5，－3).]4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1).试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．[解]由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：＝.当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
