高中数学 黄金100题系列 第23题 函数中存在性与恒成立问题 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第23题函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分．解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．若函数在区间上存在最小值和最大值，则:①不等式在区间上恒成立；②不等式在区间上恒成立；③不等式在区间上恒成立；④不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：①不等式（或）在区间上恒成立；②不等式（或）在区间上恒成立．一、函数性质法【例1】1）已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）已知两函数，，对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【分析】1）根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题．2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数和分别求出它们的最值，再根据只需满足即可求解2）、对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，即，所以【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想．【例2】若不等式对满足的所有都成立，求的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法，将视为主变元，即将元不等式化为：来求解．【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果．【例3】对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．【答案】或．二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．（1）求实数的值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围．【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为，可知，可建立关于的方程：，从而解得；（2）要使对任意恒成立，只需即可，而由（1）可知，∴问题即等价于求函数的最大值，可以通过导数研究函数的单调性，从而求得其最值：，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数，因此在处取得最大值，∴即为所求．（2）由（1）知，，∴对任意成立对任意成立，令，则问题转化为求的最大值，，令，解得，当时，，∴在上是增函数；当时，，∴在上是减函数．故在处取得最大值，∴即为所求．【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法．此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看...