配餐作业(五十四)椭圆的概念及其性质(时间：40分钟)一、选择题1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4。故选C。答案C2．(2016·广东适应性测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则b＝()A．8B．6C．5D．4解析由题意得2a＝12，e＝＝，解得a＝6，c＝2，所以b＝＝4，故选D。答案D3．(2016·湖北八校二联)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C.D.解析由题意知a＝3，b＝。由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6。在△PF1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F1F2的中点，由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴，所以|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝，所以＝，故选B。答案B4．(2016·呼和浩特调研)设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于()A.B．±C．±D.解析由题意可得，c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±。故选B。答案B5．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为()A．3B．3或C.D．6或3解析a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝。故选C。答案C6．(2017·郑州模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.B．2－C.－2D.－解析设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m。由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－，故选D。答案D二、填空题7．直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________________。解析直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2。直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1。故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋y2＝1。答案＋y2＝18．点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________。解析由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·1＝|F1F2|·yP＝3yP＝8，所以yP＝。答案9．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________。解析由题意可得B，C，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得BF·CF＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝。答案三、解答题10．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶。(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点。当|PM|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围。解析(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)。由题意知解得所以椭圆方程为＋＝1。(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，所以|PM|2＝(x0－m)2＋y＝x－2mx0＋m2＋12＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12(－4≤x0≤4)。所以|PM|2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为x0＝4m。由题意知，当x0＝4时，|PM|2最小，所以4m≥4，所以m≥1。又点M(m,0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4。答案(1)＋＝1(2)[1,4]11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C。(1)若点C的坐标为，且|BF2|＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值。...
