专题二三角函数与平面向量真题体验·引领卷一、填空题1．(2013·江苏高考)函数y＝3sin的最小正周期为________．2．(2015·江苏高考)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．3．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．4．(2011·江苏高考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．5．(2010·江苏高考)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋＝________．6．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．7．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则k的值为________．8．(2014·江苏高考)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．9．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．10．(2014·江苏高考)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．二、解答题11．(2015·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值．12．(2014·江苏高考)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．113．(2013·江苏高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．专题二三角函数与平面向量真题体验·引领卷1．π[利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式求解．函数y＝3sin的最小正周期为T＝＝π.]2．3[∵tanα＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tanβ＝3.]3．－3[∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.]4.[因为由图象可知振幅A＝，＝－＝，所以周期T＝π＝，解得ω＝2，将代入f(x)＝sin(2x＋φ)，解得一个符合的φ＝，从而y＝sin，∴f(0)＝.]5．4[＋＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2，6ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.＋＝·＝·＝·，由正弦定理得：上式＝·＝4.]6.[如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.]7.[因为e1，e2是夹角为π的两个单位向量，所以e1·e2＝cos〈e1，e2〉＝cos＝－，又a·b＝0，所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即k－－2＋(－2k)＝0，解得k＝.]28.[根据题意，将x＝代入可得cos＝sin，即sin＝，∴＋φ＝2kπ＋或π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝.]9．22[由题图可得，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB.∴AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2＝2，故有2＝25－AD·AB－×64，解得AD·AB＝22.]10.[∵sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．∴cosC的最小值为.]11．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.12．解(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.13．(1)证明由|a－b|＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝，故α＝或α＝.当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.所以，α，β的值分别为，.3
