“数列”专题提能课A组——易错清零练1．等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn.若＝(n∈N*)，则＝________.解析：＝＝＝＝.答案：2．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝7，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则an＝____________.解析：由an＋1＝2Sn＋1，得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1＝3an(n≥2)，由a2＝2a1＋1，得S2＝3a1＋1＝7，解得a1＝2，a2＝5，所以an＝答案：3．已知一个等差数列{an}的通项公式为an＝25－5n，则数列{|an|}的前n项和为____________．解析：由an≥0，得n≤5，∴{an}前5项为非负，当n≤5时Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝，当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a5)－a1－a2－a3－a4－a5－a6－…－an＝－＋100，综上所述，Sn＝答案：Sn＝4．若{an}是等差数列，首项a1>0，<－1，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是________．解析： {an}为等差数列，a1>0，<－1，∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且|a2018|>|a2019|，等价于a2018>0，a2019<0且a2018＋a2019>0.∴在等差数列{an}中，a2018＋a2019＝a1＋a4036>0，S4036＝＞0，S4037＝＝4037a2019<0，∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4036.答案：4036B组——方法技巧练1．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a3＋2a6＝0，则的值是________．解析：由a3＋2a6＝0，得q3＝－，则＝×＝1＋q3＝.答案：2．若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1a2…a13)＝13，等差数列{bn}满足b7＝a7，则b1＋b2＋…＋b13的值为________．解析： log2(a1a2…a13)＝13，∴log2a＝13⇒a7＝2＝b7，∴b1＋b2＋…＋b13＝13b7＝26.答案：263．已知数列{an}满足a2n－1＋1≤a2n≤2a2n＋1，n∈N*，a1＝1，若前n项和为Sn，则S11的最小值为________．解析：要使Sn最小，则数列各项为1,2,1,2,1,2,1,2，…，所以当S11的最小值为16.答案：164．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，记数列{an}前n项积为Tn，则满足Tn>1的最大正整数n的值为________．解析：a6＋a7>a6a7＋1>2⇒因为a1>1，所以由a6a7>1⇒a1a12＝a2a11＝…＝a6a7>1⇒T12>1，a7<1⇒a1a13＝a2a12＝…＝a6a8<1⇒T13<1，所以n的最大值为12.答案：125．已知{an}是递增数列，其前n项和为Sn，a1>1，且10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项an；(2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由10a1＝(2a1＋1)(a1＋2)，得2a－5a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝.又a1>1，所以a1＝2.因为10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，所以10Sn＝2a＋5an＋2，故10an＋1＝10Sn＋1－10Sn＝2a＋5an＋1＋2－2a－5an－2，整理，得2(a－a)－5(an＋1＋an)＝0，即(an＋1＋an)[2(an＋1－an)－5]＝0.因为{an}是递增数列且a1＝2，所以an＋1＋an≠0，因此an＋1－an＝.所以数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列，所以an＝2＋(n－1)＝(5n－1)．(2)满足条件的正整数m，n，k不存在，理由如下：假设存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak，则5m－1＋5n－1＝(5k－1)，整理，得2m＋2n－k＝，(*)显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．故满足条件的正整数m，n，k不存在．6．数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn＝an－2an＋1，cn＝an＋1＋2an＋2－2，n∈N*.(1)若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；(2)若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；(3)若数列{bn}是等差数列，试判断当b1＋a3＝0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．解：(1)证明：设数列{an}的公差为d， bn＝an－2an＋1，∴bn＋1－bn＝(an＋1－2an＋2)－(an－2an＋1)＝(an＋1－an)－2(an＋2－an＋1)＝d－2d＝－d，∴数列{bn}是公差为－d的等差数列．(2)证明：当n≥2时，cn－1＝an＋2an＋1－2， bn＝an－2an＋1，∴an＝＋1，∴an＋1＝＋1，∴an＋1－an＝－＝＋， 数列{bn}，{cn}都是等差数列，∴＋为常数，∴数列{an}从第二项起为等差数列．(3)数列{an}成等差数列． bn＝an－2an＋1，b1＋a3＝0，令n＝1，a1－2a2＝－a3，即a1－2a2＋a3＝0，∴bn＋1＝an＋1－2an＋...
