三角函数的图像习题精选精讲VIP专享VIP免费

三角函数的图象变换三角函数的图象变换是三角函数的图象的重要的组成部分.利用三角函数的图象变换不仅可方便的画出三角型函数的图象，而且还可以进一步研究函数的性质．下面举例说明几种常见的变换及应用．一、正向变换例1由函数的图象经过怎样的变换，得到函数的图象．分析：可以从“平移变换”和“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，于是得到两种解法（而本文只介绍一种解法，另一种解法请同学们参照评注自行探究）．解：评注：由函数的图象得到函数的图象的变换主要有两条途径：①；②“相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于x的变化顺序：途径①中由x到，变化了，应平移个单位；途径②中由到（即），变化了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律.本题还涉及到了对称变换，先对称后平移与先平移后对称得到的结果是否一致呢？同学们开动脑筋思考一下．二、逆向变换例2已知函数，将的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，求已知函数的解析式．分析：对函数的图象作相反的变换，寻求应有的结论．解：把的图象沿着x轴向右平移个单位，得到的解析式是；再使它的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，得到的解析式为．故所求函数解析式为．评注：本题也可以设所求函数的解析式为，通过“正向变换”得到，因与是同一函数，进行相应系数的比较也可以得出结论.三、综合应用用心爱心专心115号编辑例3已知函数，当时，的最大值为．（1）求的解析式；（2）由的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．解：（1）由，得，∴，∴当时，，与矛盾，舍去；当时，由，，得，∴．（2）能．先将的图象向右平移个单位，再向上平移１个单位，即得到奇函数的图象．图象变换问题三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言．例6已知函数，．该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换而得到？解：．将函数依次作如下变换：（1）把函数的图象向左平移，得到函数的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；（4）把得到的函数图象向上平移个单位长度，得到函数的图象．综上得到函数的图象．点评：由的图象变换得到的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即用心爱心专心115号编辑．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即是左（右）平移个单位长度．解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点”三角函数的图像与性质是高考必考内容之一，不管从什么角度考察，不管考察哪一种性质问题，解决问题的切入点一般有两个：一是把所研究的函数解析式化为：“一角一”；二是画出函数在某一区间上的图像。举例说明如下：例1、（2006年福建卷）已知函数（I）求函数的最小正周期和单调增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？思路分析：先把函数的解析式化为的形势后，类比讨论。解：（I）=的最小正周期由题意得、即的单调增区间为（II）先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。点评：求三角函数的值域、单调区间、周期、对称中心、对称轴，判断函数奇偶性等问题时，把函数的解析式化为：“一角一”的形式（如：）是解决此类问题的共同切入点。易错点剖析：若把化为，由求的增区间是错误的，处理方法：（1）把变为，或把变为=后类比求。例2、（2003辽宁卷理）已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值.思路分析：（1）是R上的偶函数，应为，，易求（2）在区间上是单调函数，根据图像，，可求的范围...