§3.3导数的应用(二)1．当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．可导函数求最值的方法f′(x)＝0⇒x＝x1，x2，…，xn，x∈[a，b]．直接比较f(a)，f(b)，f(x1)，…，f(xn)，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：(1)结合____________可减少比较次数．(2)含参数的函数求最值时分类：①按____________分类；②按____________分类．3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形：(1)加速度是速度关于________的导数；(2)线密度是质量关于________的导数；(3)功率是功关于________的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数；(5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；(6)边际成本是成本关于________的导数．4．N型曲线与直线y＝k的位置关系问题如图，方程f(x)＝0有三个根x1，x2，x3时，极大值f(a)＞0且极小值f(b)＜0.曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f(a)______k或极小值f(b)______k；曲线y＝f(x)与直线y＝k(k是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．自查自纠1．02．最小值最大值(1)单调性(2)单调性极值点3．(1)时间(2)长度(3)时间(4)时间(5)时间(6)产量4．＜＞＝＝()函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在上单调递增D．在上单调递减解：因为函数f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，解得x>，则函数f(x)的单调递增区间为；令f′(x)<0，解得0
2B．－36解：由已知得：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0在R上有两个不相等的实根，所以Δ＝(2a)2－12(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.故选D.若函数f(x)＝a(x3－x)的递减区间为，则实数a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－1，0)C．(1，＋∞)D．(0，1)解： f′(x)＝a(3x2－1)＝3a，∴当－＜x＜时，要使f′(x)＜0，必须有a＞0.故选A.已知f(x)＝sinx＋2x，x∈R，且f(2a)＜f(a－1)，则实数a的取值范围是________．解： f′(x)＝cosx＋2＞0恒成立，∴f(x)在R上单调递增． f(2a)＜f(a－1)，∴2a＜a－1，得a＜－1.故填(－∞，－1)．已知函数f(x)＝ax2＋x－xlnx在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解：由题意知：f′(x)＝2ax＋1－(lnx＋1)≥0，即a≥在[1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝，令g′(x)＝＝0，解得x＝e.当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x∈[1，e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，故g(x)的最大值为g(e)＝，即a≥.故填.类型一函数单调性的进一步讨论已知实数a＞0，函数f(x)＝a(x－2)2＋2lnx.(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－4x＋4＋2lnx，f′(x)＝2x－4＋＝， x＞0，∴f′(x)≥0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(2) f′(x)＝2ax－4a＋＝，又f(x)在区间[1，4]上是增函数，∴f′(x)＝≥0对x∈[1，4]恒成立，即2ax2－4ax＋2≥0对x∈[1，4]恒成立，令g(x)＝2ax2－4ax＋2，则g(x)＝2a(x－1)2＋2－2a， a＞0，∴g(x)在[1，4]上单调递增，只要使g(x)min＝g(1)＝2－2a≥0即可，∴0＜a≤1.【点拨】①函数f(x)在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解；而存在单调区间问题，可转化为不等式有解问题．②对导数进行研究时，不可忽略原函数的定义域，如本题中易忽略“x＞0”．()已知f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请...
