河北省清河县高三数学《40数学归纳法》课时作业一、选择题(每小题5分，共30分)1．证明<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间的式子等于()A．1B．1＋C．1＋＋D．1＋＋＋解析：当n＝2时，中间的式子1＋＋＋＝1＋＋＋.答案：D2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1(k∈N*)时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设n＝k(k∈N*)时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设证明，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.答案：A3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2，且n∈N*时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析：计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2(n∈N*)．故应选B.答案：B4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N*)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋1×34＋52k＋1×52＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A5．已知一个命题p(k)，这里k＝2n(n∈N*)，当n＝1,2，…，999时，p(k)成立，并且当n＝999＋1时它也成立，则下列命题中正确的是()A．p(k)对于k＝2002成立B．p(k)对于每一个自然数k成立C．p(k)对于每一个偶数k成立D．p(k)对于某个偶数可能不成立解析：由已知得k＝2,4,6，…，2000命题成立．故排除A，B，C，应选D.答案：D6．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()用心爱心专心1A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案：8三、解答题(共55分)10．(15分)用数学归纳法证明：An＝5n＋2·3n－1＋1(n∈N*)能被8整除．证法一：(1)当n＝1时，A1＝5＋2＋1＝8，命题成立．(2)假设当n＝k时，Ak能被8整除，即Ak＝5k＋2×3k－1＋1(k∈N*)是8的倍数，那么Ak＋1＝5k＋1＋2×3k＋1＝5(5k＋2×3k－1＋1)－4(3k－1＋1)＝5Ak－4(3k－1＋1)． Ak是8的倍数，3k－1＋1是偶数，则4(3k－1＋1)也是8的倍数，∴Ak＋1能被8整除．∴当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n，An能被8整除．证法二：“作差”应用归纳假设．Ak＋1－Ak＝5k＋1＋2×3k＋1－(5k＋2×3k－1＋1)＝4(5k＋3k－1)． Ak是8的倍数，5k＋3k－1是偶数，4(5k＋3k－1)也是8的倍数，∴Ak＋1是8的倍数(其余证明如证法一)．11．(20分)(2011·海南华侨中学模...
