高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法练习-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲立体几何中的向量方法高考定位以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).所以AB1＝(1，－，1)，BC1＝(1，0，1)，则cos〈AB1，BC1〉＝＝＝＝，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角. AB＝2，BC＝CC1＝1，∴MN＝AB1＝，NP＝BC1＝.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知△PQM为直角三角形，且PQ＝1，MQ＝AC，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，AC＝，则MQ＝，则△MQP中，MP＝＝，则△PMN中，cos∠PNM＝＝＝－，又异面直线所成角范围为，则余弦值为.答案C2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CDM，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.由于DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.当三棱锥M－ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，AM＝(－2，1，1)，AB＝(0，2，0)，DA＝(2，0，0).设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1，0，2).又DA是平面MCD的法向量，因此cos〈n，DA〉＝＝，sin〈n，DA〉＝.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为.3.(2018·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.(1)证明由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，以HF的方向为y轴的正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故EF2＝PE2＋PF2，所以PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0，0，0)，P，D，DP＝，HP＝为平面ABFD的一个法向量.设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.考点整合1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝|cosa，μ|.(3)面面夹角设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，则|cosθ|＝＝|cosμ，v|.热点一利用空间向量证明平行、垂直关系【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)...