高考数学 黄金100题系列 第09题 函数的单调性 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

第9题函数的单调性I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．【答案】【解析】设是上的任意两个实数，且，则由，得，所以，即，故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4．【母题评析】本题通过对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津卷】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为A．B．C．D．【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数的图象与性质，主要利用函数的单调性比较大小．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与不等式的性质同时考查．，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．【例3】【2017高考山东卷】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为．①；②；③；④【答案】①④【解析】试题分析：①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，【难点中心】（1）对于比较大小问题，简单问题可直接借助一个的常见函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系，复杂一点的，有时需要把式子适当变形，然后再构造一个适当的函数，同样借助这个函数的单调性，利用自变量的大小关系，推出函数值的大小关系．是基础题．（2）新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．（3）求函数单调区间的常用方法：①定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；②图象法，由图象确定函数在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在上单调递增，故具有性质．【例4】【2017高考课标2卷】函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得：或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为．故选D．【例5】【2016高考新课标I卷】若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于选项A：由于，所以函数在上单调递增．由，得．故A错误．又，即．故B错误．的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；③利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性．对于选项B：要比较与的大小，只需比较与的大小．构造函数，因为，所以，因此函数在上单调递增．又，对于选项C:要比较与的大小关系，只需比较与的大小，即比较与的大小．构造辅助函数，．令得．函数在上单调递增，因此，若，得，故．又，所以，即，得．故选项C正确．对于选项D：比较与的大小，只需比较与的大小，即比较与的大小．又，得，所以．又，得，即．故选项D不正确．综上可得选C．III．理论基础·解题原理一、函数的单调性的基本概念1．函数的单调性一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于任意，当时，若，则函数在区间上是增函数；若，则函数在区间上是减函数；2．函数的单调区间若函数单调在区间上是增函数（或减函数），则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．二、辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说...