课时跟踪检测（二十三）数乘向量、向量的线性运算A级——学考水平达标练1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝()A.B.C．±D．±解析：选C因为|a|＝3，|b|＝5，a＝λb，所以|a|＝|λ||b|，即3＝5|λ|，所以|λ|＝，λ＝±.2．已知点C在线段AB上，且AC＝CB，则()A．AB＝BCB．AB＝－BCC．AB＝BCD．AB＝－BC解析：选DAB＝AC＋CB＝CB＋CB＝CB＝－BC.3．已知P，A，B，C是平面内四点，且PA＋PB＋PC＝AC，则下列向量一定共线的是()A．PC与PBB．PA与PBC．PA与PCD．PC与AB解析：选B因为PA＋PB＋PC＝AC，所以PA＋PB＋PC＋CA＝0，即－2PA＝PB，所以PA与PB共线．4．在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝b，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B∵BD＝DA，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)＝CB＋CA＝a＋b，故选B.5．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s＝()A.B.C．2D．3解析：选A因为CD＝CB＋BD＝4BD，所以CB＝3BD，所以CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC，所以r＝，s＝－，r－s＝.6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝________.解析：∵OA－3OB＋2OC＝0，∴OB－OA＝2(OC－OB)，∴AB＝2BC，∴＝2.答案：27.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则DE＝________BC.解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又DE与BC同向，∴DE＝BC.答案：8．在四边形ABCD中，AB＝3e，CD＝－5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状为________．解析：由已知可得AB＝－CD，所以AB∥CD，且|AB|≠|CD|.又|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形9．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，判断AD＋BE＋CF与BC是否平行，并求|AD＋BE＋CF|∶|BC|.解：由AC－AD＝2(AD－AB)，得AD＝AC＋AB.同理可得，BE＝BC＋BA，CF＝CA＋CB，所以AD＋BE＋CF＝－BC，所以(AD＋BE＋CF)∥BC，且|AD＋BE＋CF|＝|BC|，即|AD＋BE＋CF|∶|BC|＝1∶3.10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解：因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．B级——高考水平高分练1．(多选题)已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的是()A．a＝5e1，b＝7e1B．a＝e1－e2，b＝3e1－2e2C．a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2D．a＝e1－e2，b＝3e1－e2解析：选ABD对A，a与b显然共线；对B，因为b＝3e1－2e2＝6＝6a，故a与b共线；对C，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，得无解，故a与b不共线；对D，b＝3(e1－e2)＝3a，所以a与b共线．故选ABD.2.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是________；最小值是________．解析：设AE＝kAD,0≤k≤1，则AE＝k(AC＋2CB)＝k[AC＋2(AB－AC)]＝2kAB－kAC，∵AE＝λAB＋μAC，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.当k＝0时，t取最小值0.答案：303．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线．(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：(1)由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，因为AB＝2e1－8e2，所以AB＝2BD.又因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，因为BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以BF＝λBD(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12.4．已知点O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)·OA(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线．(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为OM＝λOB＋(1－λ)OA，所以OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，即AM＝λAB，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且AM，AB有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知AM＝λAB，若点B在线段AM上，则AM，AB同向且|AM|>|AB|(如图所示)．所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1，＋∞)．
