专题四立体几何解答题（理）空间向量运算与利用向量证明平行、垂直的位置关系【背一背重点知识】1.用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示.2.面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行，线线平行.3.用向量证明线面垂直的方法有：①证明直线的方向向量与平行的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直.4.面面垂直的证明发法：①两个平面的法向量垂直；②转化为线面垂直，线线垂直.【讲一讲提高技能】必备技能：1.用向量证明空间中的平行关系①设直线和的方向向量分别为和，则∥(或与重合)⇔∥.②设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则∥或⊂⇔存在两个实数，使.③设直线的方向向量为，平面的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.④设平面和的法向量分别为，，则α∥β⇔∥.2.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1⊥l2⇔⊥⇔.＝0.②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则⊥⇔∥③设平面和的法向量分别为和，则α⊥β⇔⊥⇔·＝0.典型例题：例1如图，在四棱锥中，平面，，，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】例2如图，正方形和四边形所在平面互相垂直，，，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（2）证明：因为正方形和四边形所在的平面互相垂直，且，所以平面．如图，以为原点，建立空间直角坐标系．则，，，，，．，，．，，所以，，又，所以平面．（3）由（2）知，是平面的一个法向量．设平面的法向量，则，，即，得，且．令，则，．从而．故二面角为锐角，故二面角的大小为．【练一练提升能力】1已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．（1）证明：（2）在线段上是否存在点，使得∥平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值【解析】（Ⅱ）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴．设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求．2.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？证明你的结论．【解析】法二：（I）连接，交于，连接．在中，为中位线，,//平面．利用空间向量求空间角【背一背重点知识】1.求两条异面直线所成的角，设分别是直线的方向向量，则所成角为，的夹角为,则2.求直线与平面所成的角，设直线的方向向量为，平面的法向量为,直线与平面所成的角为，.3.设是二面角的法向量，则的夹角大小就是二面角的平面角的大小，,再根据平面是锐角还是钝角，最后确定二面角的平面角的大小.【讲一讲提高技能】1.必备技能：用法向量求角（1）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.（2）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者.2.典型例题：例1如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．αβFBDCPEA（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）首先证明面，再利用线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解．zyxGAEPCDBF例2如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求二面角的正弦值.分析：（Ⅰ）连结、,因为是菱形的中心，,以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出的坐标，并设出点的坐标，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程...
