课时素养评价三十五利用函数性质判定方程解的存在性(15分钟30分)1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()A.,0B.-2,0C.D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+lnx-4的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln1-4=-3<0,f(2)=22+ln2-4=ln2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a
0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则()A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当00B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则00时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:30四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.
