周周回馈练对应学生用书P91一、选择题1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是()A．πB．2πC．2πD．2π答案B解析由圆的标准方程知，圆的半径为，所以周长为2π．2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F答案A解析由D2＋E2－4F＞0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E．3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．2C．D．3答案C解析因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，那么切线长的最小值为＝＝，故选C．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．B．∪(1，＋∞)C．D．∪[1，＋∞)答案A解析联立解得P(a，3a)． 点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，解得－＜a＜1．5．动点P与定点A(－1，0)，B(1，0)的连线的斜率之积为－1，则点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠0)C．x2＋y2＝1(x≠±1)D．y＝答案C解析设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝． 动点P与定点A(－1，0)，B(1，0)的连线的斜率之积为－1，∴kPA·kPB＝－1，∴＝－1即x2＋y2＝1．又x＝±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1，综上点P的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)．6．直线ax＋by＝1(a∈R，b∈R)与圆x2＋y2＝2相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点Q(0，1)之间距离的最大值是()A．B．4C．2D．答案C解析依题意，△AOB是直角三角形，得∠AOB＝90°，|OA|＝|OB|＝，所以|AB|＝2，则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离为＝1，即3a2＋b2＝1，从而b2≤1．因为点P(a，b)与点Q(0，1)之间的距离d＝＝＝，b∈[－1，1]，所以当b＝－1时，距离d最大，最大值为2．二、填空题7．过A点(1，)的直线l将圆B(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________．答案解析如图所示，由图形可知：点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为B(2，0)．要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥AB，所以kl＝－＝－＝．8．若过点A(a，a)可作圆C：x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－3)∪解析圆心为C(a，0)，半径r＝＞0，则a＜，由于过点A可作圆的两条切线，所以点A在圆外，即a2＋a2－2a2＋a2＋2a－3＞0，解得a∈(－∞，－3)∪．9．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案4解析连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4．三、解答题10．已知一圆经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上．(1)求此圆的方程；(2)若点D为所求圆上任意一点，且点C(3，0)，求线段CD的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：由已知可设圆心N(a，3a－2)，又由已知得|NA|＝|NB|，则＝，解得a＝2．于是圆N的圆心为N(2，4)，半径r＝＝．所以圆N的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10．解法二：因为A(3，1)，B(－1，3)，所以kAB＝＝－，线段AB的中点坐标为(1，2)．从而线段AB的垂直平分线的斜率为2，方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．由方程组解得所以圆心N(2，4)，半径r＝|NA|＝＝，故所求圆N的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10．(2)设M(x，y)，D(x1，y1)，则由C(3，0)及M为线段CD的中点，得解得又点D在圆N：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，所以有(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得2＋(y－2)2＝．故M的轨迹方程为2＋(y－2)2＝．11．已知隧道的截面是半径为4．0m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2．7m、高为2．5m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的宽度为am，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入x2＋y2...
