滚动复习4一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知复数z1的实部为2，复数z2的虚部为－1，且为纯虚数，z1·z2为实数，若z1＋z2对应的点不在第一象限，则z1－z2对应的点在(D)A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限解析：设z1＝2＋bi，z2＝a－i，a，b∈R，则＝＝为纯虚数，所以2a－b＝0且2＋ab≠0.因为z1·z2＝(2＋bi)(a－i)＝(2a＋b)＋(ab－2)i为实数，所以ab＝2.由，解得或.又z1＋z2＝(2＋a)＋(b－1)i对应的点不在第一象限，所以不符合，于是z1－z2＝(2－a)＋(b＋1)i＝3－i对应的点在第四象限．2．若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(D)A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i解析：因为(z－3)(2－i)＝5，所以z－3＝＝＝2＋i，所以z＝5＋i，所以＝5－i.3．已知i为虚数单位，若复平面内的点Z表示复数z，如图，则表示复数的点是(D)A．EB．FC．GD．H解析：由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，其在复平面内对应的点为H(2，－1)．4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ab＝0，得a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，a＋＝a－bi不一定为纯虚数；若a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.综上，可知选B.5．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为(A)A．－B．－iC.D.i解析：由题意，得，所以a＝1，所以z＝2i，＝＝＝－i.根据虚部的概念，可得的虚部为－.6．计算＋的值是(D)A．0B．1C．iD．2i解析：原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.7．(多选)已知i为虚数单位，z为复数，则下列叙述不正确的是(ABC)A．z－为纯虚数B．任何数的偶数次幂均为非负数C．i＋1的共轭复数为i－1D．2＋3i的虚部为3解析：当z为实数时，z－不为纯虚数，A错误；由i2＝－1，知B错误；由共轭复数的定义，知1＋i的共轭复数为1－i，C错误；D正确，故选ABC.二、填空题(每小题5分，共20分)8．设复数z＝(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则在复平面内，复数i对应的点的坐标为__(1，－1)__，|i|＝.解析：因为z＝＝－1＋i，所以i＝(－1－i)i＝1－i，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，|i|＝＝.9．已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝7＋ni，则＝i.解析：因为m和n都是实数，且m(1＋i)＝7＋ni，所以m＋mi＝7＋ni，则m＝7，n＝7，所以＝＝i.10．已知复数z1＝＋i，|z2|＝2，且z1·z是虚部为正数的纯虚数，则复数z2＝＋i或－－i.解析：设z2＝a＋bi(a，b∈R)，则z1·z＝(＋i)(a＋bi)2＝(＋i)(a2－b2＋2abi)＝(a2－b2)－2ab＋(a2－b2＋2ab)i，因为z1·z是虚部为正数的纯虚数，所以.又|z2|＝2，则a2＋b2＝4，联立解得或，则z2＝＋i或－－i.11．已知复数2＋i与复数在复平面内对应的点分别是A与B，则∠AOB＝.解析：OA＝(2,1)，OB＝(，－)，∴|OA|＝，|OB|＝，OA·OB＝.∴cos∠AOB＝＝＝.又∠AOB∈[0，π]，∴∠AOB＝.三、解答题(共45分)12．(15分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i.∵z＋2i为实数，∴y＝－2，∴＝＝＝(2x＋2)＋(x－4)i.又为实数，∴x＝4，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，∴根据条件，可知，解得2
