高中数学求解圆锥曲线离心率“五法”学法指导VIP免费

高中数学求解圆锥曲线离心率“五法”曾安雄离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现。下面例析几种常用求法。一、根据离心率的范围，估算e即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e()01，，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1来解决。例1.设()04，，则二次曲线xy22cottan＝1的离心率的取值范围为（）A.()012，B.()1222，C.()222，D.()2，解：由()04，，故有cot0，tan0，因此所给的二次曲线是双曲线。由双曲线的离心率e1，应排除A、B、C，而选D。二、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式eca来解决。例2.（2005年全国卷一）已知双曲线xay2221（a0）的一条准线与抛物线yx26的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.32B.32C.62D.233解：抛物线yx26的准线是x32，即有双曲线的右准线xaccc22132，有23202cc，解得c2，a3则eca233，故选D。例3.（2005年江苏）点P（－3，1）在椭圆xayb22221（ab0）的左准线上，过点P且方向为a()25，的光线经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.33B.13C.22D.12解：由题意知，入射光线为y152()x3，关于y2的反射光线（对称关系）为5250xy，则P（－3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有acc23550，解得ac31，知eca33，故选A。三、构造a，c齐次式，解出e根据题设条件关系式，借助abc、、之间的关系，沟通ac、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e。例4.（2005年福建）已知FF12、是双曲线xayb22221()ab00，的两焦点，以线段FF12为边作正三角形MFF12，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.423B.31C.312D.31解：如图1，MF1的中点为P，则点P的横坐标为c2。图1由||||PFFFc11212，焦半径公式||PFexaP1有ccaca×()2，即caac22220有ee2220解得ee1313()舍去，故选D。例5.（2005年浙江）过双曲线xayb2222＝1()ab00，的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。解：如图2，所给的语言可转化为通径图2||||MNFA21，即222baca×()得baac22，caaac222故ee220解得e2或e1（舍）故填2。点评：本题是运用方程的思想求离心率。另外记住一些常用结论，有助于快速解题，如焦半径公式，通径，焦点三角形面积公式、定值结论等。这里用到双曲线及椭圆的通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦），其长度为22ba。四、寻找a与c的关系式由于离心率是c与a的比值，故不必分别求出a、c的值，可寻找a与c的关系式，即a用c来表示即可解决。例6.（2005年全国卷三）设椭圆的两个焦点分别为FF12、，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FPF12为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A.22B.212C.22D.21解：由题意，得||||||PFPFFFc12122222。又由椭圆的定义，得||||PFPFa122，即2222cca，则ac()21得eca21，故选D。四、统一定义法由圆锥曲线的统一定义，知离心率e是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即||MFde。例7.设椭圆xaybab222210()的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是____________。解：该题若想通过求出a、c的值，再求离心率e是相当麻烦的。而先画图，利用圆锥曲线的统一定义来解，显得简捷快速。解：据椭圆的第二定义及题意，画出图3，观察线段的数量关系，得图3ePFPKPQFR||||||||111212。故填12。