高考数学一轮复习 配餐作业41 数学归纳法（含解析）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

配餐作业(四十一)数学归纳法(时间：40分钟)一、选择题1．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－3解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16。可猜想an＝n2，故选B。答案B2．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析依题意当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)，n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为＝2(2k＋1)，故选B。答案B3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N*)B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N*)C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N*)D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N*)解析因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1时正确，故选B。答案B4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”。那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析选项A，B与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意。答案D5．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为()A．18B．36C．48D．54解析由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36。当n＝1时，可知猜想成立。假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值为36。故选B。答案B6．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立。(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立。()A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确，故选D。答案D二、填空题7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式是________。解析由n∈N*，n＞1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋＋＜2。答案1＋＋＜28．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________。解析由(S1－1)2＝S得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝。猜想Sn＝。答案三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N*，n≥2)。证明(1)当n＝2时，1＋＝＜2－＝，命题成立。(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，即1＋＋＋…＋＜2－。当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立。由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立。10．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)。(1)证明：{xn}是递减数列的充要条件是c＜0；(2)若0＜c≤，证明数列{xn}是递增数列。证明(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，∴数列{xn}是递减数列。必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0。又x2＝－x＋x1＋c＝c，∴c＜0，故{xn}是递减数列的充要条件是c＜0。(2)若0＜c≤，要证{xn}是递增数列。即xn＋1＞xn，也就是证明xn＜。下面用数学归纳法证明当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1，n∈N*都成立。①当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立。②假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即xk＜。因为函数f(x)＝－x2...