3.1.5一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数[答案]D[解析]f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，故选D.2.的值为()A.B.C．2D．4[答案]C[解析]原式＝＝＝＝2.3．(2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°[答案]A[解析]两式平方后相加得sin(A＋B)＝，∴A＋B＝30°或150°，又 3sinA＝6－4cosB>2，∴sinA>>，∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.4．(2010·广东惠州一中)函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π[答案]B[解析] y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π.5．(2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝()A.B．－用心爱心专心1C.D．－[答案]B[解析] a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝或sinα＝－1， α∈，∴sinα＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－.6．(2010·温州中学)已知向量a＝(sin75°，－cos75°)，b＝(－cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为()A．0B．1C.D．2[答案]D[解析] |a－b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a－b|＝2.7．(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝(<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1B．2C．－2D.[答案]C[解析] sinβ＝，<β<π，∴cosβ＝－，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，∴sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·盐城调研)若将函数y＝cosx－sinx的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为()A.B.C.D.[答案]C[解析]y＝cosx－sinx＝2cos向左移m个单位得到函数y＝2cos为偶函数，∴m＋＝kπ(k∈Z)，∴m＝kπ－， k∈Z，且k>0，∴m的最小值为.9．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为()A．－B．－C.D.用心爱心专心2[答案]D[解析]cos2θ＋sin2θ＝＝＝.10．(2010·重庆南开中学)已知2tanα·sinα＝3，－<α<0，则cos的值是()A．0B.C．1D.[答案]A[解析] 2tanαsinα＝3，∴＝3，即＝3，∴2cos2α＋3cosα－2＝0， |cosα|≤1，∴cosα＝， －<α<0，∴sinα＝－，∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝×－×＝0.二、填空题11．已知sin＝，则sin＝______.[答案][解析]sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝.12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝____________.[答案]－[解析]因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋，(k∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－，∴sin2α＝，∴tan2α＝＝－，所以tan＝＝＝－.13．求值：＝________.[答案]－4[解析]＝＝＝＝＝＝－4.三、解答题14．(2010·北京理，15)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析]本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx的二次函数，求值即可．(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.用心爱心专心3(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－)2－，x∈R因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.15．已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．[解析]由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]∴tan(α＋β)＝2tanα①由4tan＝1－tan2得tanα＝＝②由①②得tan(α＋β)＝1，又 0<α<，0<β<，∴0<α＋β<，∴α＋β＝.16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP·OQ＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．[解析](1)因为OP·OQ＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝...
