第六节正弦定理与余弦定理高考第一轮复习一、课标要求1.掌握正弦定理及余弦定理；2.运用正弦定理、余弦定理等知识解决实际问题。1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＝asinA＝bsinB＝csinCa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝2RsinA，b＝，c＝②sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bccosB＝cosC＝2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22abb2Rc2R定理正弦定理余弦定理解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形面积公式汇总S△ABC=12ahS△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.大于小于[问题思考]1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件．[问题思考]2、在三角形中，“a2＋b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件？“a2＋b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件？牛刀小试1．(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D．12．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于()A．23B．12C．27D．283．(2013·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π124．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．5．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.例1.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.解：由正弦定理得sinA=bBasin=245sin3=23,且a>b则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=226或A=120°,C=15°,c=226.突破.热点题型[例2](1)(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.1010B.105C.31010D.55(2)(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.(3)(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.变式训练1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a＞b，则∠B＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π62．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5[例3]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定变式训练[例4](1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积为()A．23＋2B.3＋1C．23－2D.3－1(2)(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.①求角A的大小；②若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sinBsinC的值．通关集训1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
