课时素养评价二十九对数的概念(15分钟30分)1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于()A.B.C.D.【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,所以x=8,所以=.【补偿训练】若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,3)∪(3,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,需,解得t>2且t≠3,所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN.现在已知a=log23,则2a=.【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.答案:33.e0++=.【解析】原式=1+2+8=11.答案:114.把对数式log84=x化成指数式是;可求出x=.【解析】因为log84=x,所以8x=4,所以23x=22,所以x=.答案:8x=45.(1)将log232=5化成指数式.(2)将3-3=化成对数式.(3)log4x=-,求x.(4)已知log2(log3x)=1,求x.【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.(2)因为3-3=,所以log3=-3.(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共10分)1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是()A.128B.16C.8D.256【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,则f(log2x)=2x=24=16.2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x=()A.log37-log32B.lo4C.log34D.log37【解析】选C.2×9x-28=,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥B.2a-b>C.log2a+log2b≥-2D.+≤【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0
,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确.4.下列各式正确的有()A.lg(lg10)=0B.lg(lne)=0C.若10=lgx,则x=10D.若log25x=,则x=±5【解析】选AB.对于A,因为lg(lg10)=lg1=0,所以A对;对于B,因为lg(lne)=lg1=0,所以B对;对于C,因为10=lgx,所以x=1010,C错;对于D,因为log25x=,所以x=2=5.所以只有AB正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若loga2=m,loga3=n,其中a>0,且a≠1,则am+n=.【解析】loga2=m,可得am=2.loga3=n,an=3.am+n=aman=2×3=6.答案:66.(2020·绍兴高一检测)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=;当a=2时,方程的解x=.【解析】因为x=2是方程的解,所以loga(52-32)=2.所以a2=16,且a>0,所以a=4.当a=2时,log2(5x-3x)=x.所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.答案:41【补偿训练】方程log3(9x-4)=x+1的解x=.【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,所以(3x)2-3·3x-4=0,所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).答案:log34四、解答题7.(10分)若lox=m,loy=m+2,求的值.【解析】因为lox=m,所以=x,x2=.因为loy=m+2,所以=y,y=,所以====16.【补偿训练】已知logab=logba(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=.【证明】令logab=logba=t,则at=b,bt=a,所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.所以a=b或a=.
