OAPQBab第4题第1课向量的概念及基本运算【考点导读】1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3.了解平面向量基本定理及其意义.【基础练习】1.出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③2.化简得3.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝，＝(用a、b表示)5.设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值为【范例导析】例1.如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以、为基底表示、、分析：本题可以利用向量的基本运算解决.解：是△的重心，点拨:利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理，在解题中，应尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合向量的加减法、数乘运算解决.例2.已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，1AGEFCBDDCEFAB例1求证：.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.证明：如图，连接EB和EC，由和可得，（1）由和可得，（2）（1）+（2）得，（3）∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，代入（3）式得，点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例3.已知不共线，,求证：A,P,B三点共线的充要条件是分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴再证充分性：若则==,∴与共线，∴A,P,B三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.反馈练习：1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）A.|a|－|b|=|a－b|B.|a|－|b|=|a+b|C.|a|＋|b|=|a－b|D.|a|＋|b|=|a+b|2.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（C）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形3.设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是34.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么O点的位置为AD的中点2例25.在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=,则=6.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①，②，③。解析：①原式=；②原式=；③原式=。7.设为未知向量，、为已知向量，满足方程2(5+34)+3=0，则=（用、表示）8.在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=（用a，b，c表示）9.已知点C在内，。设，则等于310.如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设解：.11.设两个非零向量、不共线，如果（1）求证：三点共线.（2）设、是两个不共线的向量，已知,若三点共线，求的值.解：（1）证明：因为3第10题所以又因为得即又因为公共点所以三点共线；（2）解：因为共线，所以.设，所以即；4
